Wie berechne ich die Halbwertszeit einer unbestimmten Menge?
Ich habe morgen einen Physik Test und mache gerade einen all-nighter. Ich verstehe alle Themen bis auf dieses. Die Aufgabenstellung lautet: Wie lange dauert es ungefähr bis von einer größeren Menge Radium-226 90% zerfallen sind wenn die halbwertszeit 1600 jahre beträgt
2 Antworten
N(t) = No * q^t......allgemeine Zerfallsgleichung
Aufgrund der Halbwertszeit sind nach 1600 Jahren 50% zerfallen, also
Einsetzen in die zerfallsgleichung:
0.5*No = No * q^1600........../No
0.5 = q^1600
Nun auf beiden Seiten der Gleichung die 1600-ste Wurzel ziehen
1600-ste wurzel 0.5 = q
Anders ausgedrückt
q = 0.5^(1/1600)
Die Halbwertszeit T = 1600
q ...... Zerfallsfaktor
Das ergibt die Formel, mit der du den Zerfallsfaktor q berechnen kannst, wenn du die Halbwertszeit T kennst
q = 0.5 ^ (1/T)
Wenn du diese Formel weißt, brauchst du die Herleitung dieser Formel nicht
........
90% zerfallen, also noch 10% übrig, also Einsetzen in die Zerfallsgleichung ergibt:
N(t) = No * q^t
0.1*No = No * q^t........./No
0.1 = q^t
Einsetzen für q gemäß Formel:
0.1 = 0.5^(t/T)
Jetzt logarithmiere beide Seiten der Gleichung:
log 0.1 = log 0.5^(t/T)
Anwendung des Logarithmusgesetzes ergibt:
log 0.1 = t/T * log 0.5
t = T * log 0.1 / log 0.5
t = 1600 * log 0.1 / log 0.5
Eintippen in den Taschenrechner ergibt:
t = 5315.08 Jahre
Ab der Zeile
0.1 = 0.5^(t/T)
ist Deine Rechnung, bis auf die vorletzte Zeile, physikalisch richtig. Wer den Begriff Halbwertszeit verstanden hat, wird sinnvollerweise auch gleich mit diesem Ansatz beginnen.
Was Du vor dieser Zeile geschrieben hast, ist beim physikalischen Rechnen unzulässig. Man darf einer dimensionsbehafteten Größe wie T nicht die Einheit wegnehmen, sie auf einen nackten Zahlenwert reduzieren, der doch nur zusammen mit der weggenommenen Einheit überhaupt eine physikalische Information enthielt, um dann mit ihr so umzugehen wie mit einer dimensionslosen Größe.
https://de.wikipedia.org/wiki/Dimension_(Größensystem)
Die anschließende Vereinigung mit t zu t/T führt überhaupt nur dann zum richtigen Resultat, wenn man die Herleitung von q *nicht* vergessen hat und darauf achtet, t nun genau die gleichen Einheit (hier: Jahre) zu geben, die man T weggenommen hat.
In der vorletzten Zeile
t = 1600 * log 0.1 / log 0.5
fehlt die Einheit immer noch und am Ende musst Du sie dann aus dem Gedächtnis wieder hervorholen.
Der Beweggrund für diese Regelverletzung ist verständlich: Der mathematisch Gebildete weiß, dass ein Exponent dimensionslos sein muss. Kurzerhand, aber irrigerweise, meint man dafür sorgen zu können, indem man die Einheit weglässt. Beim physikalisch richtigen Rechnen hingegen ist der Exponent ein Quotient zweier dimensionsgleicher Größen, in diesem Fall zweier Zeiten: der verstrichenen Zeit t und der Halbwertszeit T. So kürzt sich die Zeitdimension heraus und man kann mathematisch und physikalisch richtig damit rechnen.
Wie viele Halbwertszeiten dauert es, bis von einer Menge eines radioaktiven Stoffs 90% zerfallen sind?
1 - 90% = (1/2)^x
0,1 = (1/2)^x
log(0,1) = x * log(1/2)
x = log(0,1) / log(1/2)
x = 3,322
Wie viele Jahre sind das, wenn die Halbwertszeit 1600 Jahre beträgt?
3,322 * 1600 Jahre
5315 Jahre