Welche Funktion hat die Ableitung f‘(x)= cox(x) und erfüllt die Bedingung 0 kleiner gleich f(x) kleiner gleich 2 für alle x element aus Reelle Zahlen?
Man sollte eine Termdarstellung angeben.
ich hab erstmal intergriert und bei mir kam f(x)= sinx + c heraus aber ich weiß nicht was ich danach machen soll also wie ich c berechne
3 Antworten
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Gesucht ist eine Funktion, die folgende Eigenschaften hat:
- f'(x) = cos(x)
- f(x) ≥ 0
Und das für jede reelle Zahl x.
Wenn wir wissen, dass die Ableitungsfunktion die Kosinusfunktion ist, können wir mit dem Integral die Stammfunktion - also f(x) - berechnen. Das hat du richtig gemacht. Wir erhalten
f(x) = sin(x) + c
wobei c irgendeine konstante Zahl ist.
Nun müssen wir noch die zweite Bedingung erfüllen, nämlich dass f(x) nichtnegativ ist.
Aus f(x) ≥ 0 folgt, da wir f(x) = sin(x) +c berechnet haben, einfach
sin(x) + c ≥ 0.
Das muss für alle reellen x der Fall sein.
Wenn wir wissen, was der kleinstmögliche Wert ist, den der Sinus annhemen kann, können wir unser c bestimmen.
Wenn wir uns den Graphen anssehen, sehen wir, dass der kleinstmögliche Wert –1 ist.
Für unsere Ungleichung bedeutet es, dass c größer oder gleich Eins sein muss. Denn schauen wir uns nochmal die Ungleichung an und ziehen das c rüber
sin(x) ≥ –c
sehen wir, dass für den kleinstmöglichen Wert, also
–1 ≥ –c
die Ungleichung nur dann erfüllt ist, wenn
c ≥ 1
gilt. Wir nehmen jetzt einfach c = 1 an.
Unsere Funktion ist also gelöst. Sie lautet
f(x) = sin(x) + 1.
Bitteschön :)
![- (Funktion, Ableitung)](https://images.gutefrage.net/media/fragen-antworten/bilder/476192103/0_big.jpg?v=1667257763000)
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Der Ansatz ist schonmal korrekt! Du weißt nun, dass c so gewählt werden muss, daaa sin(x) + c <= 2 für alle x in R gilt. Du kannst dir nun überlegen, wie groß sin(x) maximal werden kann für x in R. Das setzt du dann ein und erhältst eine Ungleichung für c. Gleiches für sin(x) + c >= 0. Dann suchst du die einen Wert für c aus, der beide Ungleichungen erfüllt.
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sin(x) hat ausschließlich Werte zwischen -1 und 1. Vielleicht hilft dir das ja weiter.
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Welche Werte kann denn sin(x) annehmen? Und um welchen Wert musst du das verschieben, um auf die Bedingungen der Aufgabenstellung zu kommen?
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Ich verstehe nicht wie ich c berechne muss ich einfach bei sinus 0 einsetzen damit ich auf c kommt oder wie geht das
Ich versteh leider nicht was du meinst. Meinst du, dass ich irgendwelche werte für sinus einsetzen soll um auf maximal 2 zu kommen? Ich versteh nicht wie ich das berechne :(