We beweise ich das (Mathematik)?
2 Antworten
Induktionsschritt:
Bei der a) ist n < 2ⁿ gegeben und wir wollen n + 1 < 2^(n + 1).
Wie muss die linke Ungleichung umgeformt werden, damit zumindest auf der linken Seite das Gewünschte steht? Vielleicht kann man nach dieser Umformung die rechte Seite abschätzen, dass sie tatsächlich kleiner gleich als 2^(n + 1) ist.
Bei der b) wollen wir zeigen, dass Σ bis n+1 = (n + 1)/(n + 2) ist. Dies zeigt man, indem man die Summe aufteilt in i = 1 bis n, dafür die vorausgesetzte Formel verwendet und den Summanden für i = n+1 extra addiert und nachrechnet, dass da (n + 1)/(n + 2) rauskommt.
Induktion: Zeige für kleinstes n und schließe darauf, dass es auch für n+1 gilt
Ich gehe davon aus, dass der Induktionsschritt das Problem ist.
Am besten schaust du dir immer zuerst mal den Bereich an, für welche n du das zeigen sollst.
Bei a) sinds die natürlichen Zahlen, mit 0 vermutlich.
Also ist dein kleinstes n = 0. Das kannst du dann einsetzen und schauen, ob es eine wahre Aussage ist.
Induktionsanfang:
Für n = 0 gilt 0 < 2^0, also 0 < 1. -> Wahre Aussage.
Jetzt hast du den zu beweisenden Sachverhalt für ein n gezeigt.
Deswegen kannst du einfach annehmen, dass n < 2^n für ein beliebiges n gilt.
Induktionsvorraussetzung:
n < 2^n
Also das kannst du verwenden.
Induktionsbehauptung:
Jetzt musst du zeigen, dass es eben auch für n+1 gilt.
Wenn es für ein beliebiges n gilt und den Nachfolger, dann gilt es ja für alle n.
k = n+1
k < 2^k
Induktionsschritt:
Das ist der eigentliche Schritt, wo du halt umstellen musst / die Induktionsvorraussetzung benutzen musst.
k < 2^k
(n+1) < 2^(n+1)
(n+1) < 2^n * 2
(n+1) < 2^n + 2^n
n < 2^n + 2^n - 1
Da nach IV gilt n < 2^n, muss n < 2^n + 2^n - 1 auch gelten, weil 2^n - 1 mindestens 0 ist.
Demnach gilt: (n+1) < 2^(n+1)
Und dann hast dus eigentlich gezeigt.
Das wusste ich auch schon, die Frage ist eher, wie genau ich das umsetze.^^