Was ist, wenn f''(x)=0?
Hi, habe in Kürze eine Mathe Klausur, bei der unter anderem auch die Bestimmung von Extreman drankommen wird. Dabei gilt bei der h.B., dass wenn f"(x)>0, dann Tiefpunkt und wenn f''(x)<0, dann Hochounkt. Was ist jetzt aber, wenn f''(x)=0 ?
2 Antworten
Dann handelt es sich um einen Sattelpunkt (vorausgesetzt es handelt sich um eine ganzrationalen Funktion mit Grad gleich kleiner gleich drei).
Könnte sicher aber auch trotzdem um einen Extrempunkt handeln: klassisches Beispiel f(x)=x^4.
Dann prüfst Du am besten f' auf Vorzeichenwechsel an der Stelle x (alternativ könntest Du auch solange weiter ableiten bis irgendwann die Ableitung an der Stelle x ungleich Null ist...).
Hat f' "knapp vor" x ein anderes Vorzeichen als "knapp hinter" x, dann ist dort eine Extremstelle: wechselt das Vorzeichen von minus nach plus, dann hast Du einen Tiefpunkt (denn der Graph fällt zuerst bis x und steigt dann an); wechselt das Vorzeichen von plus nach minus, dann hast Du entsprechend einen Hochpunkt.
Ist das Vorzeichen von f' vor und hinter x gleich, dann hast Du einen Sattelpunkt (=Wendepunkt mit Steigung Null).
Naja, alternativ könntest Du die 3. Ableitung bilden und prüfen. Ist diese ungleich Null, dann hast Du eine Wendestelle (ist ja der Standardfall für Wendestellen: f''(x)=0 und f'''(x)<>0); ist sie auch gleich Null, dann musst Du die 4. Ableitung bilden und prüfen; ist diese ungleich Null, dann liegt eine Extremstelle vor; ist sie auch Null, gehts mit der 5. Ableitung weiter, usw....
Da ist mal eben 2 Werte für f' ausrechnen deutlich schneller! :)
Nur anhand f''(x)=0 kannst Du hier nicht sagen, ob dort eine Extrem- oder Wendestelle ist.
Das VZW wurde uns auch beigebracht, nur ist es leider etwas zeitaufwendiger