Was ist ein Kommutator?

Hallo Janessa1510,

bei Zahlen - egal ob Natürliche, Ganze, Rationale, Reelle oder Komplexe Zahlen - gilt nicht nur die Addition, sondern auch für die Multiplikation das Kommutativgesetz, d.h., wenn a und b zwei beliebige Zahlen sind, gilt

(1.1) a·b = b·a

und damit

(1.2) a·b – b·a = 0.

Es gibt aber mathematische Objekte, für die eine Multiplikation definiert ist, wo

(2) A·B – B·A = C,

deren Kommutator C = 0 sein kann, aber nicht muss. Matrizen sind solche Objekte.

Eine Verallgemeinerung von Matrizen sind lineare Operatoren, etwa in Funktionenräumen. Du hast Physik als Thema angegeben, und da gibt es ein Gebiet, in dem die Nicht-Kommutativität von Operatoren eine wichtige Rolle spielt: Die Quantenmechanik.

Beispielsweise kommutieren der Orts- und der Impulsoperator nicht. Solche Operatoren haben keine gemeinsamen Eigenfunktionen. Eine Eigenfunktion eines Operators  ist eine Funktion Ψ, für die

(3) ÂΨ = a·Ψ

gilt. Dabei heißt a ein Eigenwert von Â.

In der Quantenmechanik steht  für eine physikalische Größe (Observable) A, und a ist ein Wert, den man messen kann. Ψ steht für den Zustand eines Teilchens. Sie ist genau dann eine Eigenfunktion von Â, wenn für das Teilchen der Wert der Größe A scharf bestimmt ist, nämlich gleich a.

Wenn zwei Größen durch nicht-kommutierende Operatoren dargestellt werden können sie für ein Teilchen im Zustand Ψ nicht gleichzeitig scharf bestimmte Werte haben. Das ist eine allgemeine Formulierung der HEISENBERGschen Unbestimmtheitsrelation.

Der Kommutator zweier Objekte A und B der Ausdruck AB−BA und wir auch als [A,B] geschrieben. Bei Zahlen ist der Kommutator natürlich immer Null, aber bei Matrizen ist er es im allgemeinen nicht, und ebenso bei Symmetrieoperationen und allgemeinen Operatoren. All dieses Zeug kann kommutieren, muß aber nicht.

Die quantenmechanische ubestimmtheit kann man ganz einfach durch das Verhalten nichtkommutierender Operatoren beschreiben.

SlowPhil hat dazu viel mehr geschrieben, meine Antwort ist nur die Inhaltsangabe zu seiner.