Was bedeutet reell Spannungsquelle?
Guten Abend, habe folgendes Problem. Es geht um die Wechselstromkreislehre. Vor mir liegt eine Reihenschaltung vor. In der Reihenschaltung gibt es einen Widerstand und einen Kondensator. Der Strom ist gesucht. Was ich gern wissen möchte was meinen die mit Setzten Sie dabei die Spannung U mit einen Unterstrich der Spannungsquelle reel an, daher U mit Unterstrich = U. Die Anordnung liegt an einer sinusförmigen Wechselspannung mit dem Betrag ( Effektivwert) U= 230V der Frequenz 50Hz. Über eine Rückantwort würde ich mich sehr freuen.
2 Antworten
LG H.
Im der letzten Gleichung ist im Nenner das phi durch omega zu ersetzen (vertippt).
Mathematisch gesehen macht es sinn, wenn du dir die komplexe Zahlenebene auch "Gaußsche Zahlenebene" genannt anschaust, denn genau das wird an dieser Stelle in der Elektrotechnik als Werkzeug genutzt.
Lass uns das Anhand eines Beispiels deutlich machen:
Wir haben eine Spannungsquelle mit U=4V und f=100Hz. In Reihe sind ein Widerstand und ein Kondensator. Wir haben also eine ohmsche Last und eine kapazitive Last in Reihe. es fallen am Kondensator 2,5V ab. Wie groß ist die Spannung am Widerstand?
Bisher hast du vermutlich Kirchhoff kennengelernt "In Einer Reihenschaltung teilt sich die Spannung auf. Die Gesamtspannung ergibt sich aus der Summe der Teilspannungen" also muss doch für die Spannung am Widerstand:
UR=U-Uc=4V-2,5V=1,5V
Am Widerstand werden jedoch im Labor 3,123V gemessen! Was ist da los? lügt Kirchhoff?
Nein! Wenn wir uns den Sinusförmigen Verlauf des Wechselstroms anschauen, dann können wir diesen Verlauf doch auch als einen Zeiger darstellen. Dieser Zeiger rotiert mit der Winkelgeschwindigkeit und der Betrag also die Länge des Zeigers ergibt die Amplitude.
Jetzt nehmen wir die Teilspannnungen und schauen uns von denen die Zeiger an. Dann wird deutlich, dass der Zeiger des Kondensators zu jedem Zeitpunkt immer um 90° verschoben ist.
Nehmen wir uns die Zeiger und stellen den zeiger des Kondensators so hin, sodass dieser genau Senkrecht steht. Die Gesamtspannung ist genau die Summe dieser Einzelkomponenten. Wir sehen einen Rechten Winkel und wenn wir das weiter zuende denken, dann können wir ein rechtwinkliges Dreieck erkennen und es gilt für die Einzelkomponenten der Pythagoras.
UR=√(U^2-Uc^2)=√(4V^2-2,5V^2)=3,123V
Was hat das jetzt mit imaginären und Reellen Zahlen zutun? Nun. Das kommt aus der Mathematik. Genauer gesagt hat das mit der Gaußschen zahlenebene zutun.
Der Reelle Zahlenstrahl beinhaltet alle Ganzen Zahlen als auch alle rationalen wie irrationalen Zahlen und auch die negativen Zahlen sind mit drin. Innerhalb dieser Zahlenebene können Problemlos Berechnungen durchgeführt werden.
2+3=5
1,67+2,39=4,06
Wir bleiben immer auf einer Zahlenebene und alles macht perfekt einen Sinn. Schwierig wird es jedoch wenn wir folgendes Gleichungssystem haben:
x^2=-1
Wie groß ist x?
ja x=√(-1)
Moment! +*+=+ und -*-=+ Es gibt keine Zahl die mit sich selbst multipliziert -1 ergibt.
Also haben sich die Mathematiker gedacht: "Ja dann denken wir uns einfach die Zahl und nennen sie i für imaginär" das heißt die Zahl i gibt es nicht. und wenn du 3i hast, dann hast du 3* die ausgedachte Zahl i.
Ok. Aber wie passt diese Zahl nun in unseren reellen Zahlenstrahl? ich meine 2+3 ist ja klar aber 2+3i.... was soll das sein?
hier kommen wir so langsam in die Ebene. Denn ab hier sind wir darauf angewiesen aus dem Zahlenstrahl auszubrechen und eine neue Achse Senkrecht zur reellen Zahl anzugeben die dann die dann jede reelle Zahl mit i multipliziert darstellt. Also wir eine Senkrechte reelle Zahlenebene nur dass all die Zahlen hier *i sind.
Damit wir nun die reellen Zahlen mit den imaginären verknüpfen können braucht es eine Zahl in der Ebene. Die Komplexe Zahl. Sie setzt sich aus beiden Komponenten zusammen und hat sowohl einen Betrag und einen Winkel. Es hört sich alles etwas schwierig an aber ist im Grunde ganz einfach, denn das ganze funktioniert so ziemlich wie ein kartesisches Koordinatensystem und die komplexen Zahlen verhalten sich wie Vektoren in dieser Ebene.
Nun zur Elektrotechnik. Die Kapazität verhält sich wie eine negative imaginäre Zahl die Induktvität wie eine positive imaginäre Zahl und die ohmsche Last verhält sich wie eine Zahl auf der reellen Achse also ohne i bzw j.
Du kannst nun bei jeder noch so komplizierten Schaltung vorgehen wie du es gelernt hast wenn es darum geht die Gleichung aufzustellen musst aber bedenken, dass die Berechnung komplex geschehen muss. Eine weitere wichtige Grundlage im Umgang sind die beiden Schreibformen der Komplexen Zahl. Denn die komplexe Zahl Z lässt sich nämlich in seinen Komponenten aufdröseln und darstellen z.b.:
Z=3+4i
wir sehen sie besteht aus der reellen Zahl 3 und der imaginären Zahl 4i. Sie lässt sich aber auch in der polarschreibweise darstellen indem wir den Betrag also die Länge der komplexen Zahl also des Pfeils und den Winkel angeben, die polarschreibweise sieht dann so aus:
Z=5*e(i36,86°)
wir sehen 5 ist der Betrag und dann einmal mit e multipliziert und den Winkel angegeben. Diese Schreibweise stellt uns direkt die Information über den Betrag und den Winkel der Zahl dar.
aber warum macht man diesen Quatsch? Naja. Es ist viel leichter zu rechnen. Für die Addition und Subtraktion z.b. nutzt man eher die komponenten Schreibweise denn für die Addition zweier komplexer Zahlen müssen lediglich die Komponenten addiert werden:
Z1+Z2=3+4i+2+6i=5+10i
Wenn wir aber das ganze multiplizieren eignet sich die Polarschreibweise besser. Die Basis wird dann multipliziert und die Exponenten addiert:
Z1*Z2=5*e^(i36,86°)*6,32*e^(i18,43°)=31,6*e^(i55,29°)
Das wird z.b. bei der Reihenschaltung und Parallelschaltung von Impedanzen benötigt. eine Impedanz setzt sich dementsprechend aus einem reellen Teil und einem imaginären Teil zusammen also einem Blindanteil.
Exponent 2 unter der Wurzel steht außerhalb der Klammer !