Warum sin(πx)?

Hallo

Es gibt ja einmal den nicht normierten sinus cardinalis si(x) := sinx/x dessen Stammfunktion der Integralsinus Si(x) und den normierten sinus cardinalis sinc(x) := sinπx/πx. Meine Frage ist jetzt warum man beim normierten Sinus cardinalis sin(πx) im Zähler hat, den wenn ich so meine Rechnung anstelle komme ich auf einen normierten Sinus Cardinalis von sinx/πx also ohne da pi im Sinus. Ich weiss dass beide Version trotzdem im Integral 1 ergeben aber warum ist trotzdem ein pi im Sinus?

Danke im Vorraus

Answer 1

[LUKEars]

zum Einen ist

$\int_{-\infty}^{\infty}\left(\frac{\sin (\pi\cdot x)}{\pi\cdot x}\right)^2=1$

aber

$\int_{-\infty}^{\infty}\left(\frac{\sin x}{\pi\cdot x}\right)^2=\frac{1}{\pi}\neq 1$

und zum Anderen ist es einfach eine Definition... diese Definition hat in der Atomphysik dann günstige Eigenschaften... https://de.wikipedia.org/wiki/Sinc-Funktion

zum Dritten gilt: $\mathsf{sinc}\ x = 0 \quad\Longleftrightarrow \quad x\in\mathbb{Z}\setminus\{0\}$ das gilt bei deiner Version nicht... https://en.wikipedia.org/wiki/Sinc_function

Woher ich das weiß: Studium / Ausbildung

Comments

[Mathematiker847]

Danke dir!