Warum ist diese Funktion 1- universell (hashing)?

Hey Leute, ich verstehe das Ergebnis nicht so ganz, ich glaube ich habe ein Verständnisproblem. Kann mir da jemand helfen?

Annahme ist jetzt, dass sich die Schlüssel x und y an der Stelle x_j und y_j in ihrer Basis m presentation unterscheiden.

Ich habe jetzt

$h\left(x\right)\ =\ h\left(y\right)\$

$\sum_{i=0}^ka_ix_{i\ }\ mod\ m\ =\ \sum_{i=0}^ka_iy_{i\ }\ mod\ m\$

Dann habe ich den modularen Operator erstmal entfernt (macht man das so?)

$\sum_{i=0}^k\ a_{i\ }x_{i\ }\ =\ \sum_{i=0}^ka_iy_{i\ }\ \left(mod\ m\right)$

Dann habe ich die Summen subtrahiert:

$\sum_{i=0}^k\ a_{i\ }\left(x_{i\ }-y_i\right)\ =\ 0$

Weil j die einzige Position ist, in der xi - yi = 0 sind, habe ich den Summenterm ausgegliedert:
$\sum_{i\ ungleich\ j\ }^{ }a_{i\ }\ \left(x_{i\ }-y_i\right)\ +\ a_j\ \left(x_j\ -\ y_{j\ }\right)\ =\ 0\ \left(mod\ m\ \right)$

Das Ergebnis ist dann:

$a_{j\ }\ =\ \left(x_j\ -\ y_j\right)^{-1\ }\sum_{i\ ungleich\ j}^{ }a_i\ \left(x_{i\ }\ -\ y_{i\ }\right)\ mod\ m$

Wo sehe ich denn jetzt, dass die Funktion 1-universell ist? Ist die Summe nicht immer 0, weil nur an der Stelle j der Term nicht 0 ergibt? Und weil die Summe 0 ist, ist doch immer dann aj = 0?
Irgendwie blicke ich das mit der SUmme nicht durch,