Warum haben Planeten unterschiedliche Gravitation trotz gleicher Masse (in Bezug auf Einstein's Relativitätstheorie)?
Die Relativitätstheorie besagt ja, dass Masse die Raum-Zeit krümmt, und so Gravitation entsteht. Gibt es nicht aber Planeten (zbs Mars) die ähnlich viel oder sogar mehr Masse haben, als die Erde, und trotzdem weniger Anziehungskraft?
Und noch eine Frage am Rande; was hält Planeten mit niedriger Anziehungskraft überhaupt zusammen? 😅
2 Antworten
Hallo TimTheAskinator,
die Planeten haben keineswegs alle dieselbe Masse. Die Massen der Planeten sind aufsteigend (grob in Erdmassen)
Merkur 0,055
Mars 0,1
Venus 0,8
Erde 1,0
Uranus 14,5
Neptun 17,1
Saturn 95,2
Jupiter 317,8
Dies ist allerdings nicht das einzige Kriterium für die Gravitationsfeldstärke (=Fallbeschleunigung) g› an der Oberfläche respektive, bei Gasplaneten, in den oberen Wolkenschichten. In einer Entfernung r vom Schwerpunkt des Planeten der Masse M ist nach NEWTONs Gravitationsgesetz
(1) g›(r) = –1r›·G·M/r²,
wobei G natürlich die Gravitationskonstante und 1r› ein Pfeil der „Länge“ 1 ist, der vom Schwerpunkt weg zeigt. Es kommt also auch auf die Entfernung R der Oberfläche vom Schwerpunkt an.
Weil z.B. der Mars nur etwa halb so groß ist wie die Erde, hat er immerhin ein Drittel ihrer Schwerkraft an der Oberfläche, obwohl er nur ein Zehntel der Masse hat.
Umgekehrt hat der Saturn ca. 95 mal mehr Masse, aber dafür auch fast den 9,5fachen Radius - und eine kürzere Rotationsperiode, was die Schwerkraft am Äquator noch einmal verringert.
Die Fluchtgeschwindigkeit ist dennoch beim Saturn größer, denn dafür ist das Gravitationspotential
(2) V = –G·M/r
verantwortlich.
Gravitation als RaumzeitkrümmungDie Relativitätstheorie besagt ja, dass Masse die Raum-Zeit krümmt, und so Gravitation entsteht.
Genauer: Die Allgemeine Relativitätstheorie. Nun, in der Allgemeinen Relativitätstheorie ist Gravitation Raumzeitkrümmung. Wohl bemerkt: Innere Krümmung. Das hat nichts mit einer „Krümmung in irgendwelche Zusatzdimensionen hinein“ zu tun. Eine Zylinderfläche ist beispielsweise flach, sie lässt sich in einer Ebene ausrollen. Eine Kugeloberfläche heißt positiv, eine Sattelfläche negativ gekrümmt. Die Spur eines Körpers bzw. seines Schwerpunktes in der Raumzeit heißt Weltlinie. die Weltlinie eines unbeschleunigten Körpers ist eine Geodätische, sie führt sozusagen geradeaus, womit gemeint ist, so geradeaus wie möglich. Natürlich gibt es Geodätische auch in gekrümmten Flächen. Auf oder über der Erdoberfläche ist eine solche Linie ein Großkreis.
Die Erkenntnis, dass sich die Krümmung einer Fläche ohne Bezug auf die Einbettung in einen höherdimensionalen Raum beschreiben lässt, verdanken wir GAUSS, der sie Theorema Egregium nannte. RIEMANN verallgemeinerte das Konzept später auf mehrdimensionale sog. Mannigfaltigkeiten, und EINSTEIN wandte RIEMANNs Konzept auf die Raumzeit an.
Aber zurück zur Raumzeit: In einer flachen Raumzeit wäre eine Geodätische tatsächlich eine Gerade, und parallele Geraden bleiben dort parallel.
In einer gekrümmten Raumzeit ist das anders. Geodätische, die an einer Stelle parallel sind, laufen beispielsweise zusammen wie die Erd-Meridiane an den Polen. Das passiert in der Raumzeit auch. Natürlich kann man erwidern, dass die Körper durch die Gravitation ja beschleunigt werden, aber man spürt keine Beschleunigung, allenfalls die Gezeitenkräfte, die dadurch verursacht werden, dass Gravitationsfelder meist inhomogen sind.
Gravitationskräfte sind proportional zur Masse, ebenso wie Trägkeitskräfte. Das ist der Grund dafür, dass sich Gravitation überhaupt als Krümmung der Raumzeit beschreiben lässt.
MINKOWSKI - vs. SCHWARZSCHILD-MetrikDer Abstand zwischen eng benachbarten Ereignissen in der Raumzeit wird durch die MINKOWSKI-Metrik
(3.1) dτ = √{dt² – (dx² + dy² + dz²)/c²} bzw.
(3.2) dς = √{dx² + dy² + dz² – c²dt²}
beschrieben, je nachdem, ob die Ereignisse zeitartig oder raumartig getrennt sind.
Sie lassen sich auch in Polarkoordinaten als
(3.3) dτ = √{dt² – (dr² + r²dθ² + r²sin²(θ)dφ²)/c²} bzw.
(3.4) dς = √{dr² + r²dθ² + r²sin²(θ)dφ² – c²dt²}
schreiben. Besonders wichtig ist dabei der radiale Anteil. Wenn nämlich bei r=0 eine Masse M sitzt, so verzerrt sich der zu
(4.1) dτ = √{dt²·(1 – a/r) – dr²/(1 – a/r) – …} bzw.
(4.2) dς = √{dr²/(1 – a/r) + … – c²dt²·(1 – a/r)},
wobei
(5) a = 2GM/c²
der SCHWARZSCHILD-Radius ist. Bei den meisten Himmelskörpern ist R viel größer als a, nur bei Neutronensternen und vor allem Schwarzen Löchern nicht.
Der zeitliche Term gibt Auskunft über das Gravitationspotential
(6.1) V = c²·(√{1 – a/r} – 1),
was für sehr große Werte von r wegen
√{1 – x} ≈ (1 – x/2), falls x<<1
zu
(6.2) V ≈ c²·(1 – a/2r – 1) = –c²·a/2r = –GM/r
wird, also der NEWTON'schen Näherung (2).
Was?.... der Mars hat deutlich wenige Masse als die Erde und somit auch eine deutlich niedrigere Gravitation.
Nein, der Mars ist nicht größer ^^ Da hast dich falsch informiert. Keine Sorge, das haut alles rechnerisch hin.
Oh, echt? Ich meine immerhin ist der ja größer als die Erde, dachte der hat mehr Masse. Na dann macht das ja Sinn, danke :)