Warum darf es in Körper keine Nullteiler geben?

Angenommen der Körper ist nicht Nullteilerfrei.

Das bedeutet, dass es a und b ungleich 0 gibt, sodass a*b=0

Da b ungleich 0 ist und wir uns in einem Körper befinden existiert ein c (ungleich 0) sodass b*c=e (e ist das neutrale Element, also ist c das Multiplikative inverse von b)

Somit gilt:

(a*b)*c=0*c=0

Aber auch:

a*(b*c)=a*e=a

Also muss wegen Assoziativität a=0 gelten.

Aber a war ungleich 0, somit haben wir ein Widerspruch, ein Körper ist somit Nullteilerfrei