Wahrscheinlichkeit Songreihenfolge in zufällig sortierter Playlist?
Was ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein in einer zufällig sortierten Playlist mindestens ein Song auf genau den Song folgt, auf den er auch in der originalen Playlist folgt?
z. B. mit 3 Songs und der Playlist 123
gäbe es
- 123 (12 und 23)
- 231 (23)
- 312 (12)
bei denen das zutrifft und
- 132
- 213
- 321
bei denen das nicht zutrifft, also wäre die Wahrscheinlichkeit 50%.
Was ist die Wahrscheinlichkeit, wenn die Playlist n Songs enthält? Kann man das überhaupt berechnen?
2 Antworten
Du suchst die Anzahl der Permutationen von 1....n, in der mindestens eine Zahl einen Nachfolger hat, bzw. nach Division durch n! die Wahrscheinlichkeit, dass so eine Permutation auftritt. Diese Anzahl ist
n! - !n - !(n-1),
wobei mit dem Ausrufezeichen nach der Zahl die bekannte Fakultät, und dem Ausrufezeichen vor der Zahl die nicht so bekannte Subfakultät gemeint ist. Diese gibt die Anzahl der fixpunktfreien Permutationen an.
Als Beispiel für n=4:
4! - !4 - !3 = 24 - 9 - 2 = 13, wie du schon herausgefunden hast.
Kannst du hier im Detail nachlesen: https://oeis.org/A180191 (Number of permutations of [n] having at least one succession. A succession of a permutation p is a position i such that p(i+1)-p(i) = 1.)
Zur Subfakultät guckst du hier: https://de.wikipedia.org/wiki/Subfakult%C3%A4t, hier findest du auch die Formel, mit deren Hilfe man die gesuchte Anzahl so darstellen kann:
n! - [n! / e] - [(n-1)! / e]
Klar kann man das berechnen. Das ist Mathematik.
Anzahl der möglichen Permutationen ist n! und wieviele sind günstig? n
Die gesuchte Wkt ist also n/n!
Kannst du mir deine Zahlen erklären?
Für mich ist bei n=2 günstig: 12 und 21. Das sind alle und damit ist die Wkt n/n!=2/2=1
Bei n=4 sind günstig: 1234, 2341, 3412, 4123. Das sind 4. Und nicht 13. Kannst du mir die anderen 9 mal nennen?
Ich habe mich anscheinend nicht eindeutig ausgedrückt, ich meinte es so, dass ein Song genau nach dem Song kommen soll, nach dem er in der Originalplaylist kommt. Er soll nicht vor dem anderen Song kommen und es reich mir, wenn ein Song diese Bedingung erfüllt. Bei n=4 wären die Permutationen bei mir
- (1234)
- (12)43
- 1324
- 1(34)2
- 14(23)
- 1432
- 21(34)
- 2143
- (23)14
- (23)41
- 2413
- 2431
- 3(12)4
- 3142
- 3214
- 3241
- (34)(12)
- (34)21
- 4(123)
- 4132
- 4213
- 4(23)1
- 43(12)
- 4321
Du meinst dass es reicht, wenn zwei beliebige Lieder hintereinander in der üblichen Reihenfolge kommen.
Und so wie ich es jetzt verstehe steckt da noch ein mindestens mit drin.
Das lässt sich wohl am besten über die Komplementäre Menge berechnen. Im Nenner steht weiterhin n!. Dann überlegst du dir die Anzahl der Permutationen in denen alles falsch ist. Das ist leichter als alle deine Möglichkeiten von 2 passenden, 3 passenden usw. durchzutüfteln. Dann kommt du z.B. auf den Wert k.
Dann ist die gesuchte Wkt = 1-k/n!
Leider sind nur bei n = 3 n günstig, bei n = 2 ist die Wahrscheinlichkeit wie bei n = 3 50%, und bei n = 4 sind 13 von 24 günstig