Vektorenrechnung Hilfe?
Hallo,
kann mir jemand mit der Aufgabe 5 b), c), d) helfen?
Ich bin jeder Hilfe dankbar.
LG
1 Antwort
Hallo,
zunächst ermittelst Du die Koordinaten der acht Punkte.
A liegt im Ursprung, daher sind seine Koordinaten (0|0|0).
Um zu B vom Ursprung aus zu gelangen, gehst Du 0 Einheiten in x-Richtung, 8 Einheiten in y-Richtung und 0 Einheiten in z-Richtung, so daß die Koordinaten von B
(0|8|0) lauten. Die Koordinate von F, der senkrecht über B liegt, lauten entsprechend
(0|8|8), denn Punkte, die genau senkrecht übereinanderliegen, unterscheiden sich nur durch die z-Koordinate, so daß die Punkte E bis H alle eine z-Koordinate von 8 haben und die Punkte A bis D alle eine z-Koordinate von 0.
Hast Du die Koordinaten aller Punkte, bekommst Du die Parametergleichung der Ebene durch C, F und H, indem Du zum Beispiel Punkt C als Stützvektor nimmst und die Vektoren, die von C zu F und von C zu H führen, als Richtungsvektoren.
Gleichung der Ebene wäre dann C+r*( F-C)+s*(H-C).
Beim Stützvektor darfst Du nicht kürzen, wohl aber bei den Richtungsvektoren.
Vektor CF=F-C hat bspw. die Komponenten (-8/0/8), was Du zu (-1/0/1) kürzen kannst, denn bei diesem Vektor kommt es nur darauf an, in welche Richtung er zeigt. Da er ja mit einem Parameter multipliziert wird, kann er jede beliebige Länge annehmen und sogar bei einem negativen Parameter in die Gegenrichtung zeigen.
Die Koordinatenform bekommst Du, indem Du in die Gleichung ax+by+cz=d
für a, b und c die Koordinaten des Normalenvektors der beiden Richtungsvektoren der Ebene eingibst und d durch Einsetzen von Punkt C, F oder H berechnest.
Die Geraden werden durch den Ausgangspunkt als Stützvektor und den Vektor zwischen den beiden Punkten als Richtungsvektor, der natürlich auch bei Geraden gekürzt werden darf, berechnet. Geradengleichungen in die Koordinatengleichung der Ebene eingesetzt ergibt - falls vorhanden - den Schnittpunkt, ansonsten bekommt man als Ergebnis des Gleichsetzens einen Ausdruck wie 4=8, also eine unwahre Aussage. Das würde dann bedeuten, daß sich Gerade und Ebene nicht schneiden.
Zur Kontrolle: Koordinatengleichung der Ebene: x+y+z=16.
Schnittpunkt zwischen Gerade g und Ebene (16/3|16/3|16/3).
Zwischen der anderen Geraden und der Ebene gibt es keine Schnittpunkt, was bei einem wenig räumlichen Denken schon aus der Skizze klar wird.
Herzliche Grüße,
Willy