Unabhängigkeit der Inzidenzaxiome (Geometrie)?

Hallo, ich habe eine Frage zu folgender Aufgabe:

Finden Sie zwei Modelle, in denen für die 3 Inzidenzaxiome folgendes gilt:

a) I₂ ist unabhängig von I₁ und I₃

b) I₃ ist unabhängig vin I₁ und I₂ 

Problem/Ansatz:

a) I₂ besagt, dass jede Gerade mindestens zwei Punkte enthält

es ist somit von I₃ unabhängig, da dieses Axiom drei kollineare Punkte zum Gegenstand hat, welche nicht auf ein und derselben Geraden liegen. es ist von I₁ unabhängig, da dieses besagt, dass es zu 2 verschiedenen Punkten genau eine Gerade gibt, die diese Punkte enthält und I₂ hat diese mindestens zwei Punkte schon eingeschlossen.

wie würde dazu dann ein Modell aussehen?

b) I₃ besagt dass es mind. drei verschiedene Punkte gibt, die nicht ein und derselben Gerade angehören. die Unabhängigkeit von I₂ und I₁ ist hierbei recht naheliegend, da wir in I₁ und I₂ nur immer direkte Geraden betrachten, die durch mind zwei Punkte gehen

ein Modell hierfür wären drei unterschiedliche im Raum stehende nichtverbundene Punkte oder?

Bin mir bei den Modellen echt unsicher. Vielleicht kann mir jemand helfen :)

Danke

Answer 1

[RitterToby08]

Um die Modelle zu konstruieren, würde ich versuchen die 2 Axiome mit minimalen Aufwand zu erfüllen. Das heißt bei a) muss das Modell mindestens 3 Punkte enthalten (wegen l3), die jeweils durch genau eine Gerade verbunden sind (l1). Außerdem sollen alle 3 Geraden verschieden sein. Dieses Modell würde aber auch l2 erfüllen. Deswegen fügen wir zu einem Punkt eine weitere "Gerade" hinzu, die einfach der Punkt selbst ist.

Dein Modell für b) erfüllt l1nicht, wenn du keine Geraden vorgibst. Es liegt nahe einfach 2 Punkte zu betrachten, die über eine Gerade verbunden sind. Dann sind l1 und l2 erfüllt, aber natürlich l3 nicht, da wir dafür mindestens 3 Punkte brauchen.

Noch als Anmerkung: In der Vorstellung ist eine Gerade, das bekannte Objekt, das zwei Punkte verbindet. In den obigen Modelle meine ich mit Gerade zwischen zwei verschiedenen Punkte a,b einfach die Mengen {a,b}. Das formale Aufschreiben überlasse ich dir.