überklebte Münze mit "2" und "z", Wie groß ist "z", wenn die Summe bei 3 Würfen 12 beträgt?

Eine ideale Münze wird mit den Zahlen "2" und "z" überklebt. Berechne welche Zahl man für "z" einsetzen muss, wenn die Summe der Zahlen bei drei Würfen durchschnittlich 12 betragen soll.

Ansatz:
Die Wahrscheinlichkeit für 2 oder z beträgt 50%. Ein Baumdiagramm habe ich auch nochmal aufgemalt. Es gibt also die Möglichkeiten:
222 --> 0,5^3
zzz --> 0,5^3 --> Um hier durchschnittlich auf 12 zu kommen, müsste z=4 sein.
22z --> 3 x 0,5^3 --> Um hier durchschnittlich auf 12 zu kommen, müsste z=8 sein.
zz2 --> 3 x 0,5^3 --> Um hier durchschnittlich auf 12 zu kommen, müsste z=5 sein.

Aber ich glaube, dass der Ansatz so nicht stimmt und weiß leider nicht weiter. Oder kann ich ein Gleichungssystem daraus machen?

Answer 1

[GuteAntwort2021]

Hallo.

Berechne erst mal die Wahrscheinlichkeiten für jedes Ereignis:

$P\left(3\ \cdot\ 2\right)\ =\ \left(\frac{1}{2}\right)^3\ =\ \frac{1}{8}$ $P\left(2\cdot2\ +\ z\right)\ =\ \binom{3}{2}\ \cdot\ \left(\frac{1}{2}\right)^2\ \cdot\ \frac{1}{2}\ =\ \frac{3}{8}$ $P\left(2\ +\ 2\cdot z\right)\ =\ \binom{3}{1}\ \cdot\ \frac{1}{2}\ \cdot\ \left(\frac{1}{2}\right)^2\ =\ \frac{3}{8}$ $P\left(3\cdot z\right)\ =\ \left(\frac{1}{2}\right)^3\ =\ \frac{1}{8}$

Der Erwartungswert soll 12 betragen. Nun wie gelernt vorgehen:

$12\ =\ \frac{1}{8}\ \cdot\ 6\ +\ \frac{3}{8}\ \cdot\ \left(4+z\right)\ +\ \frac{3}{8}\ \cdot\ \left(2+2z\right)\ +\ \frac{1}{8}\ \cdot\ \left(3z\right)$ $12\ =\ \frac{6}{8}\ +\ \frac{12}{8}\ +\ \frac{3z}{8}\ +\ \frac{6}{8}\ +\ \frac{6z}{8}\ +\ \frac{3z}{8}$ $12\ =\ 3\ +\ 1,5z\ \ \mid\ -\ 3$ $9\ =\ 1,5z\ \ \mid\ :\ 1,5$ $z\ =\ 6$

Wenn man also 6 für z einsetzt, wird man mit 3 Würfen durchschnittlich eine Augenzahl von 12 erreichen.

Als Nachtrag:

Wenn man clever ist, könnte man sich aber auch einfach denken, dass 3*z genauso wahrscheinlich ist wie 3*2. Wenn die eine Augensumme also 6 ergibt, dann muss die andere Augensumme welche Zahl ergeben, dass es durchschnittlich 12 ergibt?

(6 + x)/2 = 12
6 + x = 24
x = 18

Wenn 3 mal z kommt, muss es also 18 ergeben. 18/3 = 6

Woher ich das weiß: Studium / Ausbildung – Diplom Wirtschaftsinformatiker

Answer 2

[SadDad]

Es gibt verschiedene Möglichkeiten bei drei Würfen. Z muss aber mindestens einmal erscheinen.

Also gibt es

Z-Z-Z (z=4)

Z-Z-2 (z=5) oder

Z-2-2 (z=8).

Das mit der durchschnittlichen Summe ergibt keinen logischen Sinn und dient vermutlich nur der Verwirrung oder soll Dich auf eine falsche Fährte locken.

Comments

[Jangler13]

Das mit dem Durchschnitt ergibt hier schon Sinn.

[SadDad]

@Jangler13

Welchen?

[Jangler13]

@SadDad

Schau dir einfach die anderen Antworten an. Es gut hier darum, dass der erwartungswert 12 ist, nicht dass bei einem bestimmten Wurf 12 rauskommt.

[leni1234497]

Okay, dass hatte ich gerade noch als Ansatz hinzugefügt. Mit so schnellen Antworten hatte ich nicht gerechnet. Dankeschön. Es war dann doch leichter als gedacht.

[SadDad]

@leni1234497

Ich sehe es gerade. Aber dennoch: Gefragt wird nach dem Durchschnitt. Nicht nach der Wahrscheinlichkeit. Die Wahrscheinlichkeit auf eine 2 oder auf z sind jeweils 50%. Aber der Durchschnitt muss sich auf ein tatsächliches Messergebnis beziehen. Die Münze kann z.B. bei 100 Würfen 60 mal auf die 2 fallen und 40 mal auf z.

[Havenari]

Z muss aber mindestens einmal erscheinen.

Warum?

[SadDad]

@Havenari

Wenn bei drei Würfen immer die 2 käme, wäre die Summe 6. Daher muss mindestens einmal etwas anderes kommen.

Answer 3

[Jangler13]

Bestimme zunächst den Erwartungswert, wenn du du nur eine Münze wirfst (du erhälst einen Term der von z abhängt).

Bestimme dann den erwartungswert der Summe von 3 Münzwürfen (Tipp: der Erwartungswert der Summe von Zufallsvariablen ist die Summe der Erwartungswerte)

Setze das Ergebnis gleich 12 und löse es nach z auf.

Woher ich das weiß: Studium / Ausbildung – Mache derzeit meinen Mathematik Master