Term einer Zahlenfolge
Thema ist x-beliebig zu Würfelbauten
Aufgabe: Anzahl Glieder 1 2 3 4 Zahlenfolge 3 9 18 30 dazu wird der Term gesucht
Könnte ihr mir erklären, wie ich bei unregelmässigem Wachstum zur Term komme?
Wie kann ich den Check mit Quadratzahlen durchführen? Danke für eure Hilfe !
4 Antworten
![](https://images.gutefrage.net/media/user/FelixFoxx/1444749287_nmmslarge.jpg?v=1444749287000)
Ich würde ein Gleichungssystem aufstellen, die gesuchte Funktion hat die allgemeine Form f(x)=ax^3+bx^2+cx+d, gesucht sind a,b,c und d und f(1)=3, f(2)=9, f(3)=18 und f(4)=30, ergibt ein Gleichungssystem mit 4 Gleichungen und 4 Unbekannten, Lösung: a=d=0, b=c=3/2
![](https://images.gutefrage.net/media/default/user/14_nmmslarge.png?v=1551279448000)
Mir ist folgendes aufgefallen
n=1 => N1=3=3n
n=2 => N2=9=N1+6=N1+2 * 3=N1+3n
n=3 => N3=18=N2+9=N2+3n
n=4 => N4=20=N3+12=N3+3n
![](https://images.gutefrage.net/media/default/user/14_nmmslarge.png?v=1551279448000)
... dann wird das wohl eine Parabel sein (wie auch Walto schreibt):
f(n) = an² +bn +c. Also:
3n = f(n) - f(n-1); (1)
an² +bn +c - a(n-1)² -b(n-1) -c =
an² +bn -an² +2an -a -bn +b =
+2an -a +b;
das gilt für alle n genau dann, wenn:
2a = 3 ⇒ a = 3/2 und
-a +b = 0 ⇒ b = 3/2;
jetzt braucht nur noch c so bestimmt zu werden, dass das erste Glied "passt":
3 = f(1) = 3/2 * 1² +3/2 * 1 + c ⇒ c = 0, (2) also
f(n) = (3n² +3n ) / 2 , in Übereinstimmung mit helmut70.
Der "Witz" daran ist, dass in die Herleitung der Beweis durch vollständige Induktion schon gleich eingebaut ist, denn (2) ist ein Induktionsanfang, und (1) ist ein Induktionsschritt.
![](https://images.gutefrage.net/media/default/user/8_nmmslarge.png?v=1551279448000)
Hallo, hier kannst du ein sog. Differenzenshema erstellen.
Jede Folgezeile enthält die Differenzen zweier Glieder der Vorgängerzeile:
3 9 18 30
6 9 12
3 3
Die Konstante 3 in der letzten Zeile sagt, das die Werte auf einer Parabel liegen.
Das funktioniert nur bei sog. äquidistanten Reihen, das sind Reihen, bei denen zwischen 2 Gliedern auf der x-Achse immer derselbe Unterschied auftritt, was bei deinen x-Werten (1;2;3;4) sicher der Fall ist.
![](https://images.gutefrage.net/media/default/user/15_nmmslarge.png?v=1551279448000)
Meine Formel:
3n(n+1)/2
Gruß, Helmut