Taylorpolynom wie annähern?

Hallo zusammen,

ich habe eine Aufgabe, die mich vor einige Schwierigkeiten stellt, und leider finde ich keinen guten Ansatz, um sie zu lösen. Vielleicht könnt ihr mir helfen?

Vielen Dank im Voraus für eure Unterstützung! 😊

Answer 1

[mihisu]

Du hast doch bereits einen Ansatz vorgegeben... Taylorpolynom (um 0; bis zum 8. Grad) finden...

Dazu kann man die durch

$f(x)=e^{x^2}$

gegebene Funktion beispielsweise 8-mal ableiten und jeweils an der Stelle x = 0 auswerten, um dann das Taylorpolynom als

$T(x)=f(0)+f'(0)\cdot x+\frac{f''(0)}{2}\cdot x^2+\frac{f'''(0)}{6}\cdot x^3+\ldots +\frac{f^{(8)}(0)}{8!}\cdot x^8$

zu erhalten. Ich würde mir den Aufwand mit den Ableitungen jedoch nicht antun und stattdessen einfach die Reihenentwicklung der Exponentialfunktion nutzen...

$e^x=\sum\limits_{k=0}^{\infty}\frac{1}{k!}x^k=1+x+\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{6}x^3+\ldots$

..., was dann bei Einsetzen von x² die folgende Reihenentwicklung liefert...

$f(x)=e^{x^2}=\sum\limits_{k=0}^{\infty}\frac{1}{k!}\left(x^2\right)^k=\sum\limits_{k=0}^{\infty}\frac{1}{k!}x^{2k}$

$=1+x^2+\frac{1}{2}x^4+\frac{1}{6}x^6+\frac{1}{24}x^8+\ldots$

Dementsprechend ist also das entsprechende Taylorpolynom 8. Grades...

$T(x)=1+x^2+\frac{1}{2}x^4+\frac{1}{6}x^6+\frac{1}{24}x^8$

Für das Integral erhält man dann dementsprechend:

$\int\limits_{0}^{1}e^{x^2}\,\text{d}x\approx \int\limits_{0}^{1}\left(1+x^2+\frac{1}{2}x^4+\frac{1}{6}x^6+\frac{1}{24}x^8\right)\,\text{d}x$

Und das Polynom zu integrieren sollte dir hoffentlich nicht mehr schwer fallen.

Zum Schluss musst du dann noch die Differenz zwischen dem so berechneten Ergebnis 11051/7560 = 1,461772486... und dem angegebenen Ergebnis 1,4626517 in Prozent (bezogen auf das angegebene Ergebnis 1,4626517 als Grundwert) angeben.

Comments

[IrgendeinAkhi]

Vielen Dank für deine Mühe und deine investierte Arbeit! Ich schätze das wirklich sehr, ich habe es durchgerechnet und es stimmt genau mit dem rechenweg überein.

vielen Dank

Answer 2

[Rammstein53]

Ist F(x) eine Stammfunktion von e^x², dann folgt für F(x) und die Ableitungen von F Fn(x) an der Stelle x = 0:

F(x) = 0

F1(x) = e^x² = 1 --> Taylor-Term: 1/1! * x^1

F2(x) = 2x e^x² = 0

F3(x) = (4x² + 2) e^x² = 2 --> Taylor-Term: 2/3! * x^3

F4(x) = (8x³ + 12x) e^x² = 0

F5(x) = (16x^4 + 48x² + 12) * e^x² = 12 --> Taylor-Term: 12/5! * x^5

F6(x) = ... = 0

F7(x) = (64x^6 + 480x^4 + 720x² + 120) e^x² = 120 --> Taylor-Term: 120/7! * x^7

F8(x) = ... = 0

Das ergibt dann:

t(x) = x + x³/3 + x^5/10 + x^7/42

Das Integral ergibt sich damit näherungsweise zu:

t(1) - t(0) = 51/35 ~ 1.457

Comments

[Delta45]

Angabe Lesen..bis grad 8 . Also t bis grad 9..

Answer 3

[J0T4T4]

Ein Ansatz: Du ✨näherst✨ exp(x²) mit dem Taylor-Polynom 8. Grades um die Stelle x = 0 an.

Ich hoffe, ich konnte dir helfen 😊🌈

LG J0T4T4

Woher ich das weiß: Studium / Ausbildung – π = e = 3