Stern in Quadrat Flcäheberechnung?
Hallo Zusammen
Wir haben gerade eine Schulaufgabe erhalten, wo wir ein 4-Eck haben mit den abmesseungen 30x30, aufgeteilt in 9 Felder. in diesem Viereck ist ein ungleichmässiger Stern gezeichnet.
Die Aufgabe besteht darin die Fläche des Sterns zu Berechnen.
Das Orange und das Blaue konnte ich Berechnen, jedoch die 2 weissen klappen nicht. Kann wer helfen?
5 Antworten
Ich habe zur einfacheren Erklärung hier die Punkte A, B, C, D und E eingefügt.
Wenn man die Fläche des Dreiecks ABC findet, so muss nur das schwarze Dreieck (das flächengleich mit dem blauen Dreieck ist) abziehen, um auf die Fläche eines der beiden weißen Dreicke zu kommen.
Um die Fläche ABC zu bestimmen, Braucht man die Höhe auf AB, sprich, die "y-Koordinate" von C.
A hat die Koordinaten (0;0); D=(0;200) usw...
Die Gerade AE hat die Gleichung:
g_AE = 300/150 * x = 2x
Die Gerade CB hat die Gleichung :
g_CB = 200-200/300x = 200 -2/3x
Setzt man die beiden Geraden gleich, erhält man die x-Koordinate von C: x=75. Durch Einsetzen in eine der beiden Gleichungen folgt:
Y-Koordiante von C (und somit die Höhe auf AB) ist 150.
Damit ist die Fläche ABC berechenbar. Der Rest sollte klar sein.
Dann lag ich sogar mit meiner Intuition richtig, dass C in y-Richtung auf der Hälfte der mittleren Box liegt. Damit ist es dann einfach, wenn man das annimmt. Aber der Nachweis dazu hatte mir gefehlt.
Der gesamte Stern ist ein Pfeilviereck mit blauen Zusatzspitzen.
Den Pfeil kannst einfach berechnen, indem von der Fläche des bunten gleichschenkligen Dreiecks mit orangener Spitze die Fläche des „schwarzen“ unten in der Mitte abziehst …
A = 300 • 300 / 2 - 300 • 100 / 2
= 300 / 2 (300 - 100)
= 150 • 200
= 30000
Und nun noch die kleinen blauen Dreiecke außen rechts und links
Die Grundseite ist gegeben mit c = 100, die Höhe h des Dreiecks ist die Gegenkathete des äußeren Winkels α zur Hypotenuse b von der äußeren Spitze nach unten.
Zuerst also der Winkel außen, der sich bequem aus dem großen blauen Dreieck berechnen lässt …
tan α = 100 / 150 = 2/3
arctan(2/3) = α = 33,69°
… der horizontal gegenüberliegende, β, ist genauso groß, wie der rechte untere „orangene“ und damit gilt …
tan β = 100 / 50 = 2
arctan(2) = β = 63,43°
Über den Sinussatz ergibt sich nun die noch fehlende Seite b …
b = c sin β / sin(180° - α - β) = 90,14
… und nun die Höhe h des kleinen blauen Dreiecks …
h = b sin α = 50
Damit ergibt sich für die Fläche der beiden blauen Dreiecke außerhalb des Pfeilvierecks …
A = 2 • 100 • 50 / 2 = 5000
… und für die Gesamtfläche des Sterns …
A = 30000 + 5000 = 35000
Es gibt sicher noch andere Wege, wie die Berechnung der Fläche des Fünfecks in der Mitte, die dann als Schnittfläche abziehen kannst oder irgendeinen anderen.
Du könntest die "schwarzen" freien Flächen links, rechts und unten berechenen.
Dann die Quadrate rechts und links oben.
Dann den Rest vom mittleren Quadrat oben, das nach Abzug organe übrig bleibt.
Dann das Gesamtquadrat aus den 3x3 kleinen Quadraten
Und vom Gesamtquadrat alles abziehen, was nicht weiß ist (hast Du in den ersten 3 Schritten und vorher berechnet)
Das Ergebnis durch 2 ist die Fläche eines der weißen Dreiecke,
Seitlich neben den Orangen Dreieck (gleichschenklig), sind 2 gleiche Winkeln, 180 - einer dieser Winkel α, ist der Winkel oben link/rechts im 5 eck (Winkel β).
Bzw. :
Der ganz untere 5 ecks Winkel, laesst sich durch dieses blaue gleichschenkliges Dreieck berechnen, bzw. durch den Cosinussatz der zwei gleichen laengen (fluegel) in Zusammenhang mit der groesseren blauen Dreieckslaenge.
Bzw. :
Jetzt hat man 3 Winkeln des 5 ecks, wohingegen die 2 weiteren Winkeln im Dreieck identisch sind. Da aber die Summe des Innenwinkels eines 5 ecks immer 540 grad ist, dann gilt fuer die 2 uebrig bleibende Winkeln ε (ganz aussen im 5 eck) :
Also :
Jetzt koennte man die Winkeln im weissen Dreieck berechnen, bzw. :
1.)
Das waeren die 2 Winkeln in den weissen Dreiecken die in einem Punkt miteinander verbunden sind (ganz unten).
2.)
Das waeren die 2 Winkeln in den weissen Dreiecken die deren Winkeln ganz aussen stehen.
Jetzt hat man 2 (bekannte) Winkeln in einem Dreieck, man kann jetzt den 3 Winkel ζ (unbekannt) ganz unten im weissen Dreieck finden :
-->
Man hat jetzt in einem weissen Dreieck alle 3 Winkeln gefunden, jetzt laesst sich durch den Cosinussatz bzw. in Zusammenhang mit dem Sinussatz die Seitenlaengen des weissen Dreiecks berechnen, dann kann man auch die Flaeche ebenfalls berechnen.
Wenn du Blau und Orange schon hast, dann kannst du die blaue Fläche spiegeln. Dann hast du ein großes Dreieck. Orange, weiß, weiß und zweimal Blau.
Die Gesamtfläche rechnest du aus.[ (300*150)/2 ] und dann ziehst du von der Gesamtsumme Orange und 2xBlau ab. Der Rest ist dann die Gesamtfläche Weiß. Das dann auch nochmal auf beide Seiten aufteilen und du hast die Lösung.
Hoffe du darfst das so machen.
Ja, so einfach kann es sein.
Ein guter Lösungsweg.