Ringschlussbeweis erstellen, wenn K und H Mengen sind?

Ich habe folgende Aufgabe in meinem Lehrbuch, komme aber nicht weiter. Kann mir jemand den Ringschlussbeweis an dem folgenden Beispiel verdeutlichen?
(i) H C K

(ii) H n K = H

(iii) H U K = K

dabei soll C jetzt für „Teilmenge von…“, n für die Schnittmenge und U für die Vereinigung stehen!

Vielen Dank schon im Voraus

Answer 1

[aperfect10]

Ringschluss bedeutet, wir müssen

$(i) \implies (ii) \implies (iii) \implies (i)$ zeigen, also aus (i) folgt (ii), aus (ii) folgt (iii) und aus (iii) folgt (i).

Damit wäre gezeigt, dass alle drei Aussagen äquivalent sind.

So könntest Du den ersten Schritt ((i) => (ii)) zeigen:

$\text{Sei } x\in H\cap K.$ Das ist gleichbedeutend mit

$x\in H \quad x \in K.$ Also liegt jedes x im Schnitt von H und K auch in H.

Sei umgekehrt

$x \in H.$ Nach (i) liegt x dann aber auch in K, also gilt

$x\in H \text{ und } x\in K \iff x\in H \cap K.$ Also sind beide Mengen gleich.

Zu (ii) => (iii):

Wieder muss gezeigt werden, dass beide Mengen gleich sind. Dazu zeigen wir wieder

$H\cup K \subset K$ und

$K \subset H\cup K$

Zuerst nehmen wir ein Element $x\in H\cup K$ und zeigen, dass es in K liegt. Dazu nehmen wir (ii) zu Hilfe.

Dann nehmen wir ein Element x in K und zeigen, dass dann auch

$x\in H\cup K$

Comments

[Melleo007]

Danke schoneinmal, deine Lösung kann ich jetzt nachvollziehen, aber wie ich die Äquivalenz zwischen (ii) und (iii) zeigen soll, sowie zwischen (iii) und (i) weiß ich nicht 😕

[aperfect10]

@Melleo007

Hab noch etwas ergänzt.

[aperfect10]

@Melleo007

Danke für den Stern <3