Potenzieren von komplexen Zahlen ,Welches Ergebnis ist richtig?

Komischerweise bekomme ich bei i) 4-4i raus, bei ii) 4+4i kann ja eigentlich nicht sein .

Answer 1

[ProfFrink]

$i-1=\sqrt{2}\cdot e^{j\frac{3}{4}\pi}$ Diese Darstellung entspricht dem Zeigerwinkel von 135°.

$\left(i-1\right)^5=2^{\left(\frac{5}{2}\right)}\cdot e^{j\frac{3\cdot5}{4}\pi}$ $\left(i-1\right)^5=4\cdot\sqrt{2}\cdot e^{j\frac{15}{4}\pi}$ Vom Bogenmaß 15*pi/4 kann ein Vollkreis der Länge 8*pi/4 abgezogen werden. Es bleiben 7*pi/8. Man landet im 4. Quadranten, also dort wo der Realteil positiv und der Imaginärteil negativ ausfällt. Der komplexe Zeiger steht auf 315°, womit wir die Spezialwerte [1/Wurzel(2) ; -1/Wurzel(2)] für die kartesichen Koordinaten erreichen. Dann gilt:

$\left(i-1\right)^5=4\cdot\sqrt{2}\cdot e^{j\frac{7}{8}\pi}=4\cdot\sqrt{2}\cdot\left(\frac{1}{\sqrt{2}}-j\frac{1}{\sqrt{2}}\right)=4-j4$

Woher ich das weiß: Studium / Ausbildung

Comments

[MarkusPuch]

vielen Dank , stimmt auch so, hatte bei der zweiten Rechnung die Aufgabe falsch abgeschrieben hatte deshalb das falsche raus , aber vielen Dank