Phytgagoreisches zahlentripel gesetzmäßigkeit?
Moin. Ich muss eine Mathe HA machen und da steht eine Frage die wir nicht besprochen haben. Die lautet,, gibt es ein gesetzmäßigkeit zu den pytagreisches zahlentripel
3 Antworten
Denke dir zwei beliebige natürliche Zahlen u und v aus, u>v, dann ist mit
a = u^2-v^2
b = 2 * u * v
c = u^2 + v^2
das Tripel (a,b,c) automatisch ein pythagoreisches Zahlentripel
Umgekehrt gilt auch: Jedes Tripel lässt sich durch die 3 obigen Formeln darstellen.
Beispiel:
u = 2, v = 1, dann ist
a = u^2 - v^2 = 2^2 - 1^2 = 4 - 1 = 3
b = 2 * u * v = 2 * 2 * 1 = 4
c = u^2 + v^2 = 2^2 + 1^2 = 4 + 1 = 5, so dass
(3, 4, 5) ein PZT ist.
Es ist übrigens auch das kleinste PZT.
Der Beweis geht mit den binomischen Formeln:
a^2 = (u^2 - v^2)^2 = u^4 - 2 * u^2 * v^2 +v^4
b^2 = (2 * u * v)^2 = 4 * u^2 * v^2
a^2 + b^2 = u^4 - 2 * u^2 * v^2 + v^4 + 4 * u^2 * v^2 = u^4 + 2 * u^2 * v^2 + v^4 = (u^2 + v^2)^2,
und dies ist in der Tat dann auch c^2.
Damit hast du eine Konstruktionsformel für alle PZT.
Der Beweis der Umkehrung, dass also jedes PZT sich auch mit dieser Formel darstellen lässt, ist schwieriger und lässt sich hier nicht in zwei Zeilen hinschreiben, bei Interesse hole ich das aber nach.
Kleine Korrektur ,
als ich eben den Beweis noch mal hingeschmiert habe , ist mir aufgefallen , dass man nur alle teilerfremden pythagoreischen Zahlentripel mit dieser Formel ausdrücken kann, es gibt allerdings erweiterte , also nicht teilerfremde PZT, die nicht aus dieser Formel folgen, wohl aber aus den teilerfremden durch Multiplikation .
Naja, auf gewisse Sachen kann man ja schnell selbst kommen.
Zum Beispiel:
wenn a,b und c ein pythagoreisches Tripel ist:
a²+b² = c²,
dann sind auch n*a, n*b und n*c pythaogerische Tripel:
(na)² + (nb)² = (nc)²
n²a² + n²b² = n²c²
n²(a²+b²)=n² *c²
a² + b² = c²
Pythagoreische Tripel sind ja Tripel aus natürlichen Zahlen, für die der Satz des Pythagoras gilt
Das wohl populärste ist 3²+4²=5².
Eine Gesetzmäßigkeit zur Vorhersage pythagoreischen Tripel wird aktuell m.W. erforscht.