7 Antworten
Die Geschwindigkeit ist die Summe der Anfangsgeschwindigkeit und dem Integral der Beschleunigung über ein Zeitintervall. Was verstehst Du daran nicht? Der komische Haken mit der Null unten und dem t oben ist z.B. das Integralzeichen, das ist ein stilisiertes "S" für "Summe". Aber da es im Grunde eine Summe von unendlich kleinen "Scheiben" unter der Fläche einer Kurve (hier eine Beschleunigungsfunktion) ist, schreibt man das eben so. Hinten das "d[tau]" ist sozusagen ein unendlich kleiner Abschnitt, mit welchem der Funktionswert multipliziert wird. Wenn Du das nicht kennst, schau Dir auf Youtube mal ein Einführungsvideo in die Integralrechnung an.
Die Geschwindigkeit v in Abhängigkeit von der Zeit t
Die Geschwindigkeit v_0 zum Zeitpunkt t = 0 s, also die Anfangsgeschwindigkeit.
das Integral von 0 bis t, also die Fläche unterhalb der Funktion a(𝜏), die hier die Beschleunigung ist. Dabei hat man 𝜏 anstelle von t gewählt, da in der Integrationsgrenze schon ein t auftaucht, also bitte nicht verwirren lassen!
Summa summarum steht da, dass sich die Geschwindigkeit v(t) ergibt durch eine Anfangsgeschwindigkeit v_0 und der Aufsummation aller Beschleunigungsanteile a(𝜏) mit der Intervalllänge Δ𝜏, denn es gilt bei einer gleichmäßig beschleunigten Bewegung:
v(t) ist die Geschwindigkeit zu einem beliebigen Zeitpunkt t, v0 die Geschwindigkeit zu einem bestimmten Zeitpunkt t0.
Der Zuwachs an Geschwindigkeit bis zum Zeitpunkt t, bezogen auf t0 ist durch die Fläche unter der Beschleunigungs-Zeit-Kurve von t0 bis t gegeben:
v(t) = v0 + Fläche von t0 bis t
Fläche unter a(t) von t0 bis t schreibt man mathematisch als Integral:
Und so kommt die "Formel" zustande.
v(t): Geschwindigkeit zum Zeitpunkt t
v0: Geschwindigkeit zum Zeitpunkt t=0
a(tau): Beschleunigung zum Zeitpunkt tau
Das S: Zeichen für das Integral von 0 bis t
Zusammengefasst:
Die Geschwindigkeit zum Zeitpunkt t ist gleich der Summe von der Geschwindigkeit zum Zeitpunkt 0 plus dem Integral der Beschleunigerfunktion über dem Zeitraum von 0 bis t
v ist die Geschwindigkeit
t ist die Zeit
v(t) ist die Geschwindigkeit zum Zeitpunkt t
v(0) ist die Geschwindigkeit zum Zeitpunkt 0
Das langgezogene S ist das Symbol für ein Integral
die 0 am unteren Ende ist der Anfangswert des Integrals
das t am oberen Ende ist der Endewert des Integrals
gemeint ist hier also das Integral von 0 bis t
a ist die Beschleunigung allgemein.
a(t) ist die Momentanbeschleunigung zum Zeitpunkt t
Das dt am Ende gehört zum Integralsysmbol dazu und sagt aus, nach welcher Variable integriert wird.
Das dt am Ende gehört zum Integralsysmbol dazu und sagt aus, nach welcher Variable integriert wird.
Wobei hier τ verwendet wird, weil mit t hier ein bestimmter Wert der Variablen 'Zeit' gemeint ist. t fungiert hier als Parameter.