Parameteraufgabe a so bestimmen das der y-wert des extrempunktes minimal wird?
Hallo
ich brauche Hilfe bei einer Mathe Aufgabe und zwar lautet die Aufgabe
bestimmen sie den Wert des Parameters a so, dass der Betrag der y-Koordinate des extremums minimal wird
hier die Funktion
fa(x)= 1:a-1•(1-x)•e^a-x
meinst du
1/(a-1) • (1-x) • e^(a-x) ??
Ja genau
3 Antworten
dann lös mal die Klammer auf und nimm dann jeden mit e^.. mal;
dann ableiten;
der erste Term abgeleitet, ergibt
dann -1/(a-1)e^(a-x)
und den 2. musst du mit der Produktregel und Kettenregel ableiten.
Dann alles = 0
und x bestimmen.
Dann diesen x-Wert in f(x) einsetzen und f ' bilden.
musst genau lesen; zuerst x (in Abhängigkeit von a) vom Extr. berechnen, dann in f einsetzen; das ist dann das y(a)
will er nicht |x(a)| minimieren, also die x komponente betragsmässig minimal haben?
ist auch wieder wahr. weiß er wohl selber nicht recht was er will :-D
Naja, zuerst mal den Extremwert bestimmen:
hierzu mit Produktregel und Co. die 1. Ableitung bestimmen, gleich 0 setzen.
x bestimmen.
x in 2. Ableitung einsetzen um sicher zu sein dass es auch ein minimum oder Maximum ist. (was davon ist unwichtig, hauptsache kein wendepunkt)
das gefundene x ist dann die x-komponente des extrempunktes, wie es in der aufgabe steht.
Dann sei g(a)=|x| mit eben jenem x wert, der ja nach wie vor von a abhängt.
nun musst du hier, entweder durch reines anschauen rausfinden für welches a das minimal wird.
oder du gehst den selben weg wie eben, nur dass du dieses mal halt die funktion g(a) nahc minima durchsuchst.
wobei du hier aufpassen solltest weil die betragsfunktions treng gneommen nicht ableitbar ist bei a=0.
Wenn ich mich nciht verrechnet habe, kommst du bei der Ableitung auf
f'(x)=1/(a-1)*e^(a-x) *[(-1)+(-1)*(1-x)]
= 1/(a-1)*e^(a-x) *[-2+x]
wann ist das null?
1/(a-1) kann nie 0 werden.
eîrgendwas wird auch nie 0.
nur -2+x kann 0 werden.
das ist bei x=2 der Fall.
2. Ableitung bilden und einsetzen darfst du selbst, um zu prüfen dass es auchein extrempunkt ist.
nun die Frage:
wenns dir nur um den x-wert geht:
der ist , egal was a ist, immer x.
ist also für alle a minimal, wenn man so will.
y wert ist interessanter:
fa(2)=1/(a-1)*(1-2)*e^(a-2)
= 1/(1-a)*e^a/e^2
=(1/e^2) * (e^a/(1-a))
hier müssten wir nun eine fallunterscheidung machen.
offensichtlich ist dass 1/e^2 positiv ist, e^a wird auch immer positiv sein.
nur 1-a kann negativ sein wenn a>1 ist.
wir betrachten g(a)=|fa(2)| daher für a>1 und für a<=1:
a>1:
dann ist g(a)= (1/e^2) * (e^a/(a-1))
mit quotientenregel folgt:
g'(a)=(1/e^2) * [e^a*(a-1)-e^a*1]/(a-1)^2
=(e^a/e^2)*(a-2)/(a-1)^2
das soll gleich 0 sein.
nur der 2. bruch kann 0 werden, nämlich für a=2. a=2 ist auch keine nullstelle des nenners passt also!
überprüfung der 2. ableitung, ob diese >0 und damit ein minimum vorliegt, überlasse ich dir!
nun zu a<=1 :
dann ist g(a)= (1/e^2) * (e^a/(1-a))
mit quotientenregel folgt:
g'(a)=(1/e^2) * [e^a*(1-a)-e^a*(-1)]/(1-a)^2
=(e^a/e^2)*(2-a)/(1-a)^2
das soll gleich 0 sein.
nur der 2. bruch kann 0 werden, nämlich für a=2. a=2 ist auch keine nullstelle des nenners passt also!
und wir könne n hier auch gleich abbrechen, denn wir betrachten hier ja gerade den a<=1 fall. und das gefundene a=2 fällt da nicht drunter!
Also sind wir mit diesem Fall hier shcon fertig, es gibt für diesen fall keine lösung.
insgesamt, insofern du brav die 2. ableitung immer geprüft hast, wird rauskommen, dass derbetrag der y komponente des extrempunkts für a=2 minimal ist.
können wir ja mal gucken was rauskommt für ein wert:
a=2, x wert der extremstelle bekanntlich auch 2.
Also:
f2(2)=1/(2-1)*(1-2)*e^(2-2) =1*(-1)*1=-1
1:a-1•(1-x)•e^a-x ????????????? bitte korrekt schreiben
1/a - (1-x) * e^(a-x) oder wie ? ? ? was soll die 1 vor der Klammer (1-x) ?
das war schon richtig so die 1:a-1 steht eigentlich im Bruch aber das kann ich schlecht hier ein tippen. Die 1 oben im Bruch und das a-1 unten im Bruch
Aber muss ja a bestimmen das währ theoretisch nur das ganz normal ausrechnen des extremas und nicht von dem Parameter a
meine Lehrerin hat mir den Ansatz y(a) gegeben aber damit kann ich trotzdem nicht anfangen