Parabel - Tunnel?
Die Mauer eines Tunnels haben die Form einer quadratischen Gleichung. Der Tunnel ist 8 m breit und an seiner höchsten Stelle 3,2m hoch. Bestimme die Funktionsgleichung. Wie hoch kann ein 2,3m breiter Anhänger maximal sein, um noch durch den Tunnel fahren zu können?
BITTE um Hilfe, da ich bald Prüfung habe.
2 Antworten
Okay, du weißt dass f(x) von der Form ax^2+bx+c sein muss, da es in der Aufgabe gegeben ist. Der Tunnel ist 8 Meter breit, wir sagen das er dort Nullstellen hat. Diese Nullstellen liegen bei x= -4 und x= +4
An seiner höchsten Stelle ist Der Tunnel 3,2 Meter hoch. Dies ist logischerweise in der Mitte des Tunnels, also müsste der y Achsenabschnitt bei 3,2 liegen.
Somit wissen wir das c=3,2 ist
Auch wissen wir das folgendes gilt anhand der Nullstellenkoordinaten, die wir definiert haben:
a*(-4)^2 - 4b + 3,2 = 0
a*4^2 + 4b +3,2 = 0
Vereinfacht wäre dies
16a - 4b + 3,2 = 0
16a + 4b + 3,2 = 0
Beides ergibt 0, also setzen wir beides gleich
16a - 4b + 3, 2 = 16a +4b +3,2 |streichen gleiches weg
-4b = 4b
8b = 0
b= 0
Fehlt nur noch a, da wir b und c haben suchen wir uns eine Koordinate (wichtig: kein, x=0 als Koordinate wählen, das ist die einzige Koordinate die nicht gehen würde um nach a aufzulösen) aus und lösen nach a auf.
Ich nehme die 2. Nullstelle bei x=4 also:
16a +3,2 = 0 |-3,2
16a = -3,2 |:16
a = -0,2
Endgültig erhalten wir die Funktion
f(x) = -0,2x^2 +3,2 als Modellierung Des Tunnels.
Jetzt kommt der 2. Teil der Aufgabe mit dem Anhänger. Der Anhänger ist 2,3 Meter breit und wir wollen wissen, wie hoch er sein darf. Somit geht der Anhänger quasi von x= (-1,15) bis x= 1,15 in unserem Koordinatensystem.
Da wir nun wissen wollen, wie hoch der Anhänger sein darf, setzen wir einfach einen dieser x Koordinaten in unsere modellierte Funktion ein und schauen was raus kommt.
f(1,15) = -0,2*1,15^2 + 3,2
Das Ergebnis davon wäre quasi die maximale Höhe des Anhängers. Du kannst in deinem Antwortsatz auch erwähnen, dass der Anhänger bestenfalls etwas niedriger sein sollte als das Ergebnis oben, da sonst kleine Fehler des Fahrers dafür sorgen, dass der 2,3 Meter Breite Anhänger an der Decke des Tunnels kratzt, weil das mathematische Ergebnis verlangt, dass der Fahrer perfekt geradeaus fährt, was menschlich nicht möglich ist.
Stelle zuerst die Gleichung des Tunnels auf, z.B. f(x)=a(x-4)(x+4). Durch Einsetzen von f(0)=3,2 erhältst du a. Jetzt berechne, welche Höhe der Tunnel bei x=1,15 besitzt, wenn das Fahrzeug mittig durchfährt.