Modulo rechnen: 3^444+4^333?

Hallo;

ich muss zeigen, dass 3^444+4^333 durch 5 teilbar ist. Die Regeln beherrsche ich soweit, aber in den Lösungen verstehe ich etwas einfach nicht:

(3^444 + 4333) mod 5 = ((3^4)^111 + (4^2)^166 · 4) mod 5

=􏰕(3^4 mod5)^111 mod5+((4^2 mod5)^166 ·4)mod5)􏰖mod5

=􏰕(81mod5)^111 mod5+((16mod5)^166 ·4)mod5􏰖)mod5

=(1^111 mod5+(1^166 ·4)mod5)mod5

=(1mod5 + 4mod5)mod5=

=5 mod 5=0.

Wieso wird direkt in der 1. Zeile nach ... (4^2)^166.. nochmal 4 gerechnet? Ich verstehe die Logik bzw woher das kommen soll einfach nicht.

Answer 1

[Piddle]

Modulo 5 gilt:

$3^{444\ }+\ 4^{333\ }\equiv\left(3^2\ \right)^{222\ }\ +\ \left(-1\right)^{333\ }\ \equiv1-1\ \equiv0.$

Answer 2

[Amago]

naja, 333 = 2 * 166 +1

Dann entsteht insgesamt

4^333 = 4^(2*166+1) = 4^(2*166) * 4 ^ 1 = 4^2^166 * 4

MfG

Woher ich das weiß: Studium / Ausbildung – Mathematik Studium, Uni Würzburg

Answer 3

[gfntom]

weil 4^2^166 nur 4^332 ist und nicht 4^333