Mein Schwager ist gestorben . Muss ich meiner Schwester eine Trauerkarte schicken?

Nein das kommt mehr als seltsam. Du fährst zu ihr, Umarmst Sie und sprichst ihr sein Beileid aus. Dann fragst du was du für sie tun kannst und verbringst etwas Zeit mit ihr. Sicher kannst du auch helfen bei dem ganzen Organisatorischen Dingen die ein Trauerfall mit sich bringt.

Möge das Licht Gottes in seiner Gnade über deinen Schwager Leuchten.

Nein, da würde ich persönlich vorbeigehen und sie trösten, sie unterstützen.

Wenn ich von mir ausgehe: Mein Schwager steht mir nahe genug, dass ich selber trauern würde. Das ist fast, als würde mein Bruder sterben.

Du wirst doch wohl mit ihr sprechen?
Schreiben brauchst Du nur (zusätzlich), wenn DU das Bedürfnis hast, ihr etwas Persönliches und Tröstliches (eventuell ausführlicher) zukommen zu lassen.