Maximum und Minimum in einem linearen Gleichungssystem ermitteln?
Eine Beispielaufgabe: Es gibt 3 Kaffeebohnensorten (gut für den Morgenstart). Pro 500g kostet die Sorte A 8.-, Sorte B 10.- und Sorte C 12.-. Die Aufgabe ist es nun eine Mischung aus A, B und C zu kreieren, sodass der Preis am Ende bei 9.- liegt. Bedingung: (a,b,c E ]0 ; 1 [). Auch soll man den Mindestanteil der Sorte A und der Maximalanteil von der Sorte C.
Der erste Teil der Aufgabe ist recht einfach. Es gibt eine Gleichung a*8 + b*10 + c*12 = 9 und a+b+c = 1. Wenn man es im Taschenrechner löst, erhält man die folgende Gleichung:
a = λ + 0.5, b = 0.5 - 2λ, c = λ
Nun stellt sich die Frage, wie man das Minimum und Maximum ermittelt. Ich habe es für das Minimum mit λ = 0 versucht. Das Resultat für a wäre >0.5. Das ist so auch korrekt in der Lösung aber wenn man dieselbe Methode auch bei b versucht. Erhält man auch >0.5, was aber dann nicht mehr korrekt ist. Und wie ich überhaupt auf das Maximum komme ich mir auch noch ein Rätsel.
Wie kann man das Minimum und Maximum ermitteln?
2 Antworten
Dein Vorgehen ist schon völlig korrekt!
Die Anteile müssen ja Werte zwischen 0 und 1 sein. Beim Anteil von b ziehst Du von 50 % die 2λ ab; der Anteil von b kann damit maximal 50 % betragen.
Und minimal wird der Anteil mit b = 0; das ist für (maximal) λ = 0,25 der Fall. Das ist damit gleichzeitig der Maximalwert für c.
Hallo,
wenn 500 gr oder eine Einheit 9 Euro kosten soll, kannst Du von C natürlich nicht eine ganze Einheit nehmen, weil die Mischung dann 12 Euro kosten würde.
Du rechnest also 8a+12c=9 und a+c=1
c=1-a
8a+12*(1-a)=9
8a-12a+12=9
4a=3
a=3/4
c=1/4
Das wäre also der Maximalanteil von c. b fällt dabei natürlich unter den Tisch, weil es teurer ist als a und den Preis nicht so schnell drücken kann.
Der Mindestanteil von a berechnet sich über a und b.
Mit b und c allein kannst Du nicht auf 9 Euro kommen.
Am wenigstens von a brauchst Du, wenn Du ansonsten nur b verwendest, wenn Du den Preis auf 9 Euro pro Einheit drücken möchtest.
8a+10b=9
a+b=1
b=1-a
8a+10*(1-a)=9
8a-10a+10=9
2a=1
a=1/2
Du brauchst also mindestens 250 g der Sorte A, um einen Preis von 9 Euro/ 500 g erzielen zu können.
Herzliche Grüße,
Willy