Mathe vektoren textaufgabe geradenschar?
Kann mir jemand bitte so leicht wie möglich aufgabe 23 erklären?
1 Antwort
Wir haben die 6 zu bohrenden Tunnel als Geradenschar g_a gegeben mit a aus {0, 2, 4, 6, 8, 10}. Ebenso sind die Punkte A, B, H1, H2 gegeben mit dem Zusatz, dass ein gerader Tunnel zwischen A und B existiert den wir mit T bezeichnen wollen. Es gilt nun folgende 3 Fragen zu beantworten:
1.) Existiert ein Schnittpunkt S von g_a und T ?
1.1) Falls ein solcher Schnittpunkt S existiert, wie lautet er?
2.) Liegen die Punkte H1 und H2 auf g_a ?
3.) Existiert ein gültiges a für g_a, so dass der Richtungsvektor Normalenvektor zur x-y- Ebene ist?
Zur Lösung von 1.)
Es gilt zunächst T zu berechnen:
T: x(t) = A + (B - A)*t mit t aus [0, 1] !!! (Der Tunnel geht schließlich nur von A nach B)
Es gilt nun das LGS:
g_a = T
zu lösen. Man erhält falls denn Lösungen existieren ein r(a) (oder ein entsprechendes t(a)) , so dass man den Schnittpunkt S in Abhängigkeit von a darstellen kann (S = S(a) wenn man so will)
Existiert nun S(a) für ein a aus {0, 2, 4, 6, 8, 10}, so ist diese Aufgabe gelöst und die Antwort lautet:
A(1): Ja es existiert mindestens ein Schnittpunkt S.
Falls keines der möglichen a eine Lösung für S(a) darstellt (bspw. Division durch Null in allen Fällen), so ist diese Aufgabe ebenfalls gelöst und die Antwort lautet:
A(2): Nein, es existiert kein Schnittpunkt S.
1.1)
Falls die Antwort zuvor A(1) war, so gilt es einfach alle möglichen und gültigen Werte für a in S(a) einzusetzen. Alle dadurch erhaltenen Schnittpunkte sind gültige Lösungen. Die Aufgabe ist gelöst, wenn alle Werte von a überprüft wurden.
Falls die Antwort zuvor A(2) war, so folgt logischerweise, dass es keine Lösungen für einen Schnittpunkt gibt unter den gegebenen Vorraussetzungen, da keine Existieren wie zuvor gezeigt. Damit ist diese Teilaufgabe in dem Fall mit einem kurzen Vermerk wie: " Es existieren keine Lösungen" , bereits beendet.
2.)
Es gilt nun die LGS:
g_a = H1 und g_a = H2
zu lösen. Man erhält falls möglich eine Lösung der Form: r = r(a)
Nun gilt es wieder zu überprüfen für welche a aus {0, 2, 4, 6, 8, 10} r(a) eine Lösung darstellt. Das Vorgehen ist hier analog wie zuvor ... .
3.)
Sei v_a der Richtungsvektor von g_a. Es folgt, dass v_a orthogonal zur x-y-Ebene ist, wenn v_a nur eine z-Komponente ungleich 0 besitzt. Es gilt also das LGS:
v_a(x) = 0 (v_a(x) entspricht x-Komponente von v_a)
v_a(y) = 0 (analog)
unter der Nebenbedingung: |v_a(z)| > 0 und a aus {0, 2, 4, 6, 8, 10} zu lösen.
Zunächst berechnet man die Lösungmenge L(a) aller a die das LGS erfüllen. Im nächsten Schritt berechnet überprüfst du welcher dieser a´s aus L(a) denn auch in {0, 2, 4, 6, 8, 10} liegen. Die a´s die in beiden Mengen enthalten sind gilt es nun in v_a einzusetzen. Du erhälst dann nun Lösungen v_k dessen z-Komponente nun auf Ungleichheit mit 0 geprüft werden muss ( |v_a(z)| > 0 ). Gibt es nun a´s die alle diese Bedingungen erfüllen, so liegt in diesen Fällen ein Richtungsvektor senkrecht zur x-y-Ebene vor und damit würde ein Tunnel senkrecht zur ebenen Oberfläche gegraben.
Ich gebe dir mal ein 1-D Beispiel. Gegeben seien:
g_a(x) = a*x + 3
f(x) = 4x + 1
mit a aus { -2, 0, 2, 4, 6, 8 } .
Gesucht sei der Schnittpunkt S(a), dieser folgt über:
f(x) = g_a(x)
Einsetzen liefert:
ax + 3 = 4x + 1
Umstellen nach x damit:
x = x(a) = 2/(4 - a) für a ungleich 4
Für a = 4 folgt, dass bei Geraden parallel verlaufen und damit f und g in diesem Fall keinen Schnittpunkt besitzen.
Es folgt also:
S(a) = ( x(a) | f(x(a)) )
mit f(x(a)) = 4x(a) + 1 = 8/(4 - a) + 1
Damit also insgesamt:
S(a) = ( 2/(4 - a) | 8/(4 - a) + 1 ) mit a aus { -2, 0, 2, 6, 8 }
(für a = 4 existiert kein Schnittpunkt, daher fehlt dieser Wert an der Stelle )
Analog verläuft die Lösung des mehrdimensionalen Problems.
danke für die Mühe, ich lese mir das gerade durch und versuche das zu rechen. bei a zB habe ich die geradengleicchung von dem tunnel und weiß dass ich sie gleichsetzten muss. aber man kann ja nicht die Rechnung sechs mal rechnen, jedesmal mit einem anderen a? mein Lehrer meinte auch dass das nicht sinnvoll ist. aber wie macht man das dann ?