Wie soll die Nummer 3 gehen?
Das ist ein neues Thema.
3 Antworten
Dreipunktgleichung der Ebene E: x=a+r*(b-a)+s*(c-a)
Eine Ebene ist durch 3 gegebene Punkte A(ax/ay/az) → Ortsvektor a(ax/ay/az) und B(bx/by/bz) → Ortsvektor b(bx/by/bz) und C(cx/cy/cz) → Ortsvektor c(cx/cy/cz)
eindeutig bestimmt
ausgerechnet ergibt das die Vektorielle Parametergleichung der Ebene
E: x=a+r*u+s*v
u(ux/uy(uz)=b-a ist ein Richtungsvektor
v(vx/vy/vz)=c-a ist ein Richtungsvektor
a) Punkt B(bx/by/bz) → Ortsvektor b(bx/by/bz) gleichgesetzt mit der Ebene
1) (bx/by/bz)=(ax/ay/az)+r*(ux/uy/uz)+s*(vx/vy/vz)
2) (cx/cy/cz)=....
3) (dx/dy/dz)=...
b) OA ist der Ortsvektor von Punkt A(ax/ay/az) → Ortsvektor a(ax/ay/az)
A ist der Stützpunkt (Stützvektor) der Eben
der Ortsvektor OA (a(ax/ay/az) hat seinen Anfang im Ursprung des x-y-z-Koordinatensystems und seine Spitze liegt bei den Punkt A(ax/ay/az)
Der Punkt X(x/y/z) → Ortsvektor x(x/y/z) liegt auf der Ebene
zum Punkt X(x/y/z) kommt man,wenn man vom Punkt A(ax/ay/az) ausgeht und zwar mit den Richtungsvektoren u(ux/uy/uz) und v(vx/vy/vz)
gleichgesetzt mit der Ebenengleichung
Punkt X(x/y/z) ergibt sich aus (x/y/z)=(ax/ay/az)+r*(ux/uy/uz)+s*(vx/vy/vz)
Analytische Geometrie is nur eine Vektoraddition oder Subtraktion
also nur einfaches Rechen.
Is allerdings viel Rechnerei und das Risiko für Rechenfehler is hoch
Beispiel: Gerade im Raum g: x=a+r*m
a(ax/ay/az) ist der Stützpunkt (Stützvektor)
r=Geradenparamter,is nur eine Zahl in der Mathematik
m(mx/my/mz)=Richtungsvektor
1) Großbuchstaben verwendet man für Punkte im x-y-z-koordinatensystem
2) Kleinbuchstaben mit einem kleinen Pfeil darüber verwendet man für Vektoren
Gerade durch 2 Punkte A(ax/ay/az) und B(bx/by/bz)
A(ax/ay/az) → Ortsvektor a(ax/ay/az)
B(bx/by/bz) → Ortsvektor b(bx/by/bz)
ergibt die Gerade (bx/by/bz)=(ax/ay/az)+r*(mx/my/mz) mit r=1
x-Richtung: bx=ax+1*mx → mx=(bx-ax)/1
y-Richtung: by=ay+1*my → my=(by-ay)/1
z-Richtung: bz=az+1*mz → mz=(bz-az)/1
Richtungsvektor von Punkt A nach B → b=a+m → AB=m=b-a
die Geradengleichung ist somit eine Vektoraddition
g: x=a+r*(b-a) → von Punkt A(ax/ay/az) nach Punkt B(bx/by/bz)
Weiß trozdem nicht, wie ich das bei meiner aufgabe anwenden soll. ...
Ist a) dann: u = AB; v = AC
Und Aufgabe b):
OX = OA + u • AB + v • AC
?
Hier ein Buchtipp über Analytische Geometrie
Mathematik Analytische Geometrie/Stochastik Band 2
Cornelsen Verlag
Bestell-Nr.:ISBN 978-3-06-000479-9
Hat mir damals 45 € gekostet mit Lösungsbuch
Das Buch eignet sich sehr gut zum Selbststudium.
Hat 420 Seiten mit Erklärungen,Formeln,Zeichnungen und durchgerechneten Beispielaufgaben.
Wenn du Abitur machen willst,dann mußt du alle Aufgaben selbständig rechnen können,die in diesen Buch stehen.
Ich selber gebe privat Nachhilfe und kann die Arbeit gar nicht leisten,um das Buch zu ersetzen.
Du mußt das Buch selber durcharbeiten-jeden Tag 1-2 Stunden-damit du die Analytische Geometrie begreifst.
Zuerst mußt du mal Übungen im 2 dimensionalen Raum machen,damit du das Prinzip begreifst.
Ich schicke dir mal ein Photo,was ich mit meiner Digitalkamera gemacht habe.
Hier Grundlagen
1) Großbuchstaben werden für Punkte im x-y-z-Koordinatensystem verwendet
2) Kleinbuchstaben mit einem Pfeil darüber werden für Vektoren verwendet
Punkt A(ax/ay/az) → Ortsvektor a(ax/ay/az)
Ortsvektor → Anfang liegt im Ursprung des x-y-z-Koordinatensystems
Die Spitze des Ortsvektors liegt bei den Koordinaten der Punktes.
Beispiel: Zeichne ein x-y-Koordinatensystem mit xmin=0 und xmax=6 cm und ymin=0 und ymax=6 cm
1) zeichne den Punkt A(4/5) ein → x=4 cm und y=5 cm
2) zeichne den Ortsvektor a(4/5) ein → Anfang im Ursprung → Pfeilspitze liegt bei´m Punkt A(4/5)
Hinweis:Die Verwendung von Buchstaben in Formeln ist nicht genormt !!
Du mußt in deinen Unterlagen prüfen:
1) ist es ein Punkt im x-y-z-Koordinatensystem
2) ist es ein Ortsvektor
3) ist es ein Richtungsvektor
Die Linearkombination
gegeben: 2 Vektoren a(ax/ay/az) und b(bx/by/bz)
addiert c=a+b über den Buchstaben stehen kleine Pfeile,kann ich hier nicht darstellen
nun führen wir 2 Parameter r und s ein (sind nur Zahlen)
c=r*a+s*b nennt man eine Linearkombination
die Parameter r und s (sind Zahlen),sind frei wählbar und deshalb kann man mit den beiden Vektoren a(ax/ay/az) und b(bx/by/bz) unendlich viele Vektoren c(cx/cy/cz) produzieren
bei dir haben wir eine Vektorielle Parametergleichung der Ebene
E: x=a+r*u+s*v
Der Punkt A(ax/ay/az) → Ortsvektor a(ax/ay/az) ist gegeben und die beiden Richtungsvektoren u(ux/uy/uz) und v(vx/vy/vz)
wir können schreiben c=r*u+s*v → Linearkombination
E: x=a+c ist eine Vektoraddition
Vektor x(x/y/z))=(ax/ay/az)+c(cx/cy/cz)
Zahlenbeispiel: A(1/2/3) und Richtungsvektor c(-1/2/4)
bedeutet:Von Punkt A(1/2/3) aus
1) cx=-1 → 1 Einheit auf der x-Achse in negativer Richtung (von A aus)
2) cy=2 → 2 Einheiten auf der y-Achse in positiver Richtung (von A aus)
3) cz=4 → 4 Einheiten auf der z-Achse in positiver Richtung (von A asu)
also x(x/y/z) ergibt sich aus der Vektoraddition des Ortsvektor a(1/2/3) und dem Richtungsvektor c(-1/2/4)
(x/y/z)=(1/2/3)+(-1/2/4)=(0/4/7) → Ortsvektor x(0/4/7) Spitze liegt bei
dem Punkt X(074/7)
also x=a+r*u+s*v → Addition von Vektoren
hier ein Beispiel mit einer Geraden im 2 dimensionalen Raum z=0
Puhh.. muss ich das alles dafür miteinbeziehen?