Logarithmus substitution?
Ich komme bei der Aufgabe nicht weiter
49^x -8 (Mal) 7^(x-1) = -7^-1
Mein Ansatz
7^2x -8(Mal)7^x (Mal)(1/7) = -1/7
7^x = u
U^2 - 8(Mal)u^x 1/7= -1/7
Ab da komme ich nicht ganz weiter und meine Ergebnisse sind falsch, kann jemand Hilfestellung geben ?
Danke im voraus
2 Antworten
Da hat sich der Fehlerteufel eingeschlichen.^^
"U^{2} - 8 * u^{x} * 1 / 7= -1 / 7" heißt eigentlich "u^{2} - 8 * u * 1 / 7= -1 / 7", also das x bei u hoch x sollte nicht sein.
Wir substituieren z
7^{x} zu u. Sie haben jedoch einmal 7^{x} mit u substituiert und einmal 7 mit u substituiert, was nicht sein kann. Sie haben also nur das liebe x vergessen.
Wenn wir etwas z.B. a als etwas u substituieren schreiben wir das "a := u" und nicht "a = u". Wir definieren nämlich a als u, bzw. substituieren a durch u.
Korrekter Weise folgt also:
Holen wir nach den substituieren von 7^{x} zu u alles auf eine Seite der Gleichung, so können wir diesen neuen Therm als quadratische Gleichung auffassen mit der Variable u,
demnentsprechen können wir die Lösungsverfahren für quadratische Wleichungen anwenden, wie die "pq-Formel" und die "Mitternachtsformel" oder ein einfaches numeriches Verfahren wobei wir den neuen Therm gleich null mit f(u) definieren und dann z.B. das Newtonverfahren nutzen.
Nachdem wir beide u's ausgerechnet haben resubstituieren wir "u =: 7^{x}" und ziehen den Logarithmus um an den Exponenten x zu kommen.
Lösung mit Rechenweg (zur kontrolle bei weiteren Fragen):Als SVG-Bild:
Als Latex-Code:
\begin{align*}
49^{x} - 8 \cdot 7^{x - 1} &= -7^{-1}\\
(7^{2})^{x} - 8 \cdot 7^{x} \cdot 7^{-1} &= -7^{-1}\\
7^{2 \cdot x} - 8 \cdot 7^{x} \cdot 7^{-1} &= -7^{-1}\\
(7^{x})^{2} - 8 \cdot 7^{x} \cdot \frac{1}{7} &= -\frac{1}{7} \quad \mid \quad 7^{x} := u\\
u^{2} - 8 \cdot u \cdot \frac{1}{7} &= -\frac{1}{7}\\
u^{2} - 8 \cdot \frac{1}{7} \cdot u &= -\frac{1}{7}\\
u^{2} + \frac{-8}{7} \cdot u &= -\frac{1}{7} \quad \mid \quad +((\frac{-8}{7} \div 2)^{2})\\
u^{2} + \frac{-8}{7} \cdot u + (\frac{-8}{7} \div 2)^{2} &= -\frac{1}{7} + (\frac{-8}{7} \div 2)^{2} \quad \mid \quad a^{2} + 2 \cdot a \cdot b + b^{2} = (a + b)^{2}\\
(u + \frac{-8}{7} \div 2)^{2} &= -\frac{1}{7} + (\frac{-8}{7} \div 2)^{2} \quad \mid \quad \sqrt{}\\
u + \frac{-8}{7} \div 2 &= \pm \sqrt{-\frac{1}{7} + (\frac{-8}{7} \div 2)^{2}}\\
u + \frac{-8}{7 \cdot 2} &= \pm \sqrt{-\frac{1}{7} + (\frac{-8}{7 \cdot 2})^{2}}\\
u + \frac{-4}{7 \cdot 1} &= \pm \sqrt{-\frac{1}{7} + (\frac{-4}{7 \cdot 1})^{2}}\\
u + \frac{-4}{7} &= \pm \sqrt{-\frac{1}{7} + (\frac{-4}{7})^{2}} \quad \mid \quad - \frac{-4}{7}\\
u &= \pm \sqrt{-\frac{1}{7} + (\frac{-4}{7})^{2}} - \frac{-4}{7}\\
u &= \pm \sqrt{-\frac{1}{7} + (\frac{-4}{7})^{2}} + \frac{4}{7} \quad \mid \quad u =: 7^{x}\\
7^{x} &= \pm \sqrt{-\frac{1}{7} + (\frac{-4}{7})^{2}} + \frac{4}{7} \quad \mid \quad \log_{7}\\
x &= \log_{7}(\pm \sqrt{-\frac{1}{7} + (\frac{-4}{7})^{2}} + \frac{4}{7})\\
x &= \log_{7}(\pm \sqrt{-\frac{1}{7} + \frac{(-4)^{2}}{7^{2}}} + \frac{4}{7})\\
x &= \log_{7}(\pm \sqrt{-\frac{1}{7} + \frac{16}{49}} + \frac{4}{7})\\
x &= \log_{7}(\pm \sqrt{-\frac{1 \cdot 7}{7 \cdot 7} + \frac{16}{49}} + \frac{4}{7})\\
x &= \log_{7}(\pm \sqrt{-\frac{1 \cdot 7}{7 \cdot 7} + \frac{16}{49}} + \frac{4}{7})\\
x &= \log_{7}(\pm \sqrt{-\frac{7}{49} + \frac{16}{49}} + \frac{4}{7})\\
x &= \log_{7}(\pm \sqrt{\frac{9}{49}} + \frac{4}{7})\\
x &= \log_{7}(\pm \frac{\sqrt{9}}{\sqrt{49}} + \frac{4}{7})\\
x &= \log_{7}(\pm \frac{3}{7} + \frac{4}{7})\\
x_{1} &= \log_{7}(+ \frac{3}{7} + \frac{4}{7})\\
x_{1} &= \log_{7}(+ \frac{7}{7})\\
x_{1} &= \log_{7}(1)\\
x_{1} &= 0\\
x_{2} &= \log_{7}(\frac{1}{7})\\
x_{2} &= \log_{7}(7^{-1})\\
x_{2} &= -1\\
\end{align*}
Nautürlich geht es auch ohne quadratischen Ergänzung,
doch der Weg über die quadratischen Ergänzung ist der Weg der in der Schulmathematik am häufigsten benutzt wird, demnach wollte ich einfach diesen vorführen.^^
Besten Dank, dass du dir die Zeit genommen hast :)
nach der Substitution ist es:
oder?
du hast ein „^x“ zuviel... sonst ist alles geschickt... find ich...
Danke für die ausführliche Erklärung, eine Frage noch, geht es nicht ohne quadratischen Ergänzung ?