Logarithmenfunktionen nach asymptotischem Wachstum ordnen?

Guten Abend

Ansatz:

Zunächst erst mal alle unnötig kompliziert gegebenen Funktionen so umschreiben, dass sie sich vergleichen lassen

a (n) = 13n³, kann man nicht mehr vereinfachen

b (n) = log_4 n³ ist nichts anderes als 1,5 log_2 n

c (n) = 9 log_3 n hätt ich jetzt auch nicht weiter vereinfachen können

d (n) = log_2 4 n^4/3 ist nichts anderes als log_2 (4) + log2 (n^3/4), also 2 + 3/4 log_2 n

e (n) = n^log_4 n^4 kann man umschreiben zu n^2 log_2 (n).

Ich hätte die Funktionen also sortiert (von langsam nach schnell):

c < d < b < a < e.

Problem: Mein Tutor meinte die richtige Reihenfolge wäre: d < b < c < e < a.

Ich versteh es nicht. c. hat ja log_3 (n) und das ist ja schon mal langsamer als alles mit log_2 (n). Bei d und b bin ich mir unsicher, weil die ja eigentlich asymptotisch gleich schnell wachsen sollten. b wächst vielleicht bissl schneller weil es mit 1,5 multipliziert wird, während d nur mit 3/4 multipliziert wird.

Großes Kopfzerbrechen bereitet mir die Tatsache, dass e langsamer wachen soll als a. Bei e (n) ist doch das "n" im Exponenten. Auch wenn man im TR z.B. für n = 17 die Funktion e (n) eingibt, also 17^log_4 (17)^4 ist das 2.9210^21, also eine tierisch hoche Zahl. Wärend n = 17 in die Funtkion a(n) eingesetzt, lediglich 1317³ = 63869 ergibt, also viel weniger wächst. Auf desmos kann man die Funktionen plotten, und dort ist e (n) [bzw. ich musste es hier f(n) nennen, weil das Programm den Buchstaben "e" direkt als Euler'sche Phi-Funktion interpretiert] auch viel stärker an der y-Achse dran, also müsste es doch eigentlich stärker wachsen, or?

Answer 1

[Willibergi]

Die Verwirrung ist verständlich - und du hast auch völlig Recht.

Von Anfang an: Die Logarithmen können wir schon mal ganz einfach vergleichen, indem wir sie auf gleiche Basen herunterbrechen:

• $b\left(n\right)=\log_4\left(n^3\right)=3\log_4n=\frac{3}{\ln4}\ln n$
• $c\left(n\right)=9\log_3n=\frac{9}{\ln3}\ln n$
• $d\left(n\right)=\log_2\left(4n^{\frac{3}{4}}\right)=\log_24+\frac{3}{4}\log_2n=2+\frac{3}{4\ln2}\ln n$

Sei

$a=\lim_{n\to\infty}a\left(n\right),\ b=\lim_{n\to\infty}b\left(n\right),\ ...$

Wegen

$\frac{3}{4\ln2}\approx1,08<\frac{3}{\ln4}\approx2,16<\frac{9}{\ln3}\approx8,20$

ist schon mal

$d<b<c$

Klar ist hoffentlich, dass a(n) und e(n) definitiv die zwei am schnellsten wachsenden Funktionen sind. Da a(n) eine ganzrationale Funktion und e(n) eine Potenzfunktion ist, gilt a < e - da hat dein Tutor also wohl tatsächlich etwas verdreht. Um es mal ein bisschen zu veranschaulichen: Plotten wir sie in desmos, erhalten wir folgendes Bild - a(n) in grün, e(n) in rot.

Der grüne Graph scheint also tatsächlich ziemlich schnell nach oben abzuhauen. Der Clue ist jetzt: Ob a(n) wirklich schneller als e(n) wächst, können wir zeigen, indem wir herausfinden, ob die beiden Funktionen noch einen weiteren Schnittpunkt haben. Ist das nämlich der Fall, "überholt" der rote den grünen Graphen und es gilt e < a (weil beide Funktionen rechts des ersten Schnittpunkts im gesamten restlichen Intervall streng monoton steigend sind).

Und tatsächlich:

Ab etwa x = 4,94 ist e > a und nachdem es keine weiteren Schnittpunkte gibt, trifft das auch für das asymptotische Wachstum zu. Es gilt also:

$d<b<c<a<e$

Comments

[Jensek81]

Danke für die ausführliche Erklärung, inklusive Graphik. Kurze Frage noch: Du hast da jetzt b,c und d als Brüche mit ln_4 umgeformt. Wieso hast du diese Form gewählt und nicht z.B.

b (n) = log_4 n³ = 3 * log_4 n = 3 * log_2(n) / log_2 (4) = 3 * 1/2 log_2 n = 1,5 log_2 n,

so dass alles in der 2er-Basis steht?

Wir dürfen in der Klausur keinen Taschenrechner mitführen, d.h. wie erkenne ich, dass 3/4 ln_2 kleiner ist als 3/ ln_4 und das widerum kleiner als 9 /ln3 ?

[Willibergi]

@Jensek81

Ich habe den ln jetzt nur aus Bequemlichkeit gewählt. Funktioniert natürlich genauso mit allen anderen Logarithmen.

Answer 2

[J0T4T4]

Kann man nicht auch irgendwie bei den Logarithmen die Basen umrechnen?

Comments

[Jensek81]

Hab ich doch getan, oder? log_4 n³ ist in Zweierbasis umgewandelt 1,5 log_2 n.

Und log_2 4 n^4/3 ist in Zweierbasis n^(2 log_2 n).

Nur bei 9 log_3 n fiel mir nicht ein, wie man eine 3er-basis in eine 2er-Basis umrechnen kann :(

[J0T4T4]

@Jensek81

Allgemein gilt:

Der Logarithmus von x zur Basis b ist gleich ln(x)/ln(b).

Das kann man beliebig verwenden, sodass gilt:

loga(x) = logb(x)/logb(a)

Du hast immer die Vorfaktoren für die Ordnung außer Acht gelassen, dass darfst du aber nicht so einfach.