Lösung zu dieser Vektorrechnung?

Ich brauche dringend Hilfe, habe nichts verstanden und muss eine Präsentation halten. Mit der Lösung könnte ich es dann verstehen.

Danke im Voraus

Mit freundlichen Grüßen.

Answer 1

[Dentrassi]

Für diese Fragestellung musst du zwei Formeln kennen.

1. Länge eines Vektors: |a ⃗| = √(x² + y²)

Wird hier ganz gut erklärt (da verspricht der Name der Seite nicht zu viel): https://www.gut-erklaert.de/mathematik/laenge-eines-vektors-berechnen.html

und 2. Winkel zwischen zwei Vektoren: cos(α) = (a ⃗⋅ b ⃗) / (|a ⃗| ⋅ |b ⃗ |)

Erklärung findest du hier: https://studyflix.de/mathematik/winkel-zwischen-zwei-vektoren-2251

Dann zeichnest du als erstes mal ein Schaubild: Das Flugzeug fliegt mit 450 km/h nach Nordosten (bedeutet also: im 45°-Winkel von unten links nach oben rechts).

Der Wind kommt von Westen - also im Schaubild von links nach rechts.

Beides zusammen - der Wind drängt das Flugzeug ja schließlich ab - ergibt einen Gesamtvektor.

Und jetzt könnten wir es so machen wie in der Mittelstufe: Wir zeichnen einen diagonalen Pfeil mit 4,5 cm Länge (d.h. 450 km/h) für das Flugzeug, dann an die Spitze einen zweiten Vektor mit 0,5 cm Länge (d.h. 50 km/h) für den Wind. Dann verbinden wir den Start- und den Endpunkt, damit wir den Gesamtvektor bekommen, und messen die Länge.

So kennen wir es noch aus der 8. Klasse, wenn es um die Gesamtkraft in der Physik geht - das ist aber leider ungenau! (Erzähle das ruhig genau so deinen Mitschülern, darunter können sie sich etwas vorstellen, weil sie diese Variante ja noch von früher kennen!)

Jetzt sind wir aber schon in der 11. Klasse und haben daher den Anspruch, dass unsere Vektorlänge - sprich hier unsere Gesamtgeschwindigkeit - genau ist. Und deswegen dient die Skizze hier nur zum Verständnis, das Ergebnis bestimmen wir aber rechnerisch.

Und zwar durch eine Vektoraddition (auch Linearkombination genannt):

a ⃗+ b ⃗ = c ⃗

Hier: Vektor a steht für das Flugzeug, Vektor b für den Wind, und Vektor c für die Gesamtrichtung.

Aufgabe 2.1.: Wie groß ist die Gesamtgeschwindigkeit?

Dazu müssen wir erst mal schauen, wie die Vektoren a und b genau aussehen.

b ist einfach: 50 km/h in x-Richtung. In y-Richtung findet keine Bewegung statt, also:

$b⃗\ =\ 50\ \binom{1}{0}\ =\ \binom{50}{0}$ a ist ein bisschen schwieriger. Denn wir kennen ja die Länge der Diagonalen (nämlich 450), nicht aber die der beiden Einzelrichtungen x und y.

Aber wir wissen, dass das Flugzeug in einem 45°-Winkel fliegt - der x-Anteil und der y-Anteil sind also gleich groß! Also verwenden wir Formel (1) und behalten im Hinterkopf, dass in diesem Fall x = y ist:

$\sqrt{x^2\ +\ y^2}\ =\ \sqrt{2\ x^2}\ =\ 450$ Wenn wir das nach x auflösen, bekommen wir: x = y = 318, 2 km/h.

Bedeutet: Wir haben jeweils in x- und y-Richtung 318,2 km/h (kannst ja mal den Satz des Pythagoras anwenden, um das zu überprüfen; die Diagonale ist damit 450 km/h lang.

Unser Vektor a geht also sowohl in x- und y-Richtung, und hat in beide Richtungen die gleiche Länge, er lautet also:

$a⃗\ =\ 318,2\ \binom{1}{1}\ =\ \binom{318,2}{318,2}$ Okay, damit haben wir beide Vektoren, also a und b. Damit können wir herausfinden, wie unser Vektor c aussieht:

$c⃗\ =\ a⃗+b⃗=\binom{318,2}{318,2}\ +\ \binom{50}{0}\ =\ \binom{368,2}{318,2}$ Und jetzt wollten wir ja noch die Länge wissen, wir setzen Vektor c also in Formel (1) ein:

$\left|c⃗\ \ \right|\ =\ \sqrt{\left(368,2\right)^2\ +\ \left(318,2\right)^2}=486,6$ Wir haben also eine Gesamtgeschwindigkeit von 486,6 km/h!

Aufgabe 2.2.: Um welchen Winkel wird das Flugzeug abgetrieben?

Dafür brauchen wir Formel (2).

Wir setzen Vektor a und Vektor c ein. Die Beträge, also Vektorlängen, die wir um Nenner brauchen, haben wir ja auch schon ausgerechnet. Wir erhalten:

$\cos\ \left(α\right)\ =\ \frac{\binom{318,2}{318,2}\ ⋅\ \binom{368,2}{318,2}}{450\ ⋅\ 486,6}\ =\ \frac{218412,48}{218970}\ =\ 0,99745$ Lösen wir das nach α auf, bekommen wir einen Winkel von 4,09°.

Das Flugzeug wird also um 4,09° abgelenkt!

Und ja, natürlich hätte man auch den Winkel in der Skizze mit dem Geodreieck messen können - aber eben nur sehr ungenau, und es wären keine Nachkommastellen erkennbar gewesen.

Comments

[wowplss]

Vielen lieben Dank dentrassi. Sie sind ein lebensretter! Können Sie mir bitte bitte noch die andere Aufgabe in meinem Profil beantworten?