Lösung zu Aufgabe? Kann man aus einer Summe ein Limes Objekt machen?

Moin,

bearbeite gerade eine meiner Übungsaufgaben und bin an einer Stelle angekommen, an der ich nicht mehr weiter weiß. Es geht um Fraktale und deren Fläche bzw. Kantenlänge (Stichwort Koch Kurve).

Meine Lösung: $U\left(n\right)\ =\ Σ\left(\left(\frac{1}{3}\right)^n\cdot\pi\right)\ +\ 1$ $A\left(n\right)\ =\ Σ\ \frac{\pi}{36\cdot9^{n-1}}$

Jetzt habe ich allerdings die Aufgabe mit Summen gelöst, in der Aufgabenstellung steht allerdings etwas explizit von einem Limes Objekt, wie lässt sich das verwirklichen?

Answer 1

[Quotenbanane]

$\lim_{n\rightarrow\infty}\ \sum_k^n\ \frac{\pi}{36\cdot9^{k-1}}$

Vorausgesetzt, deine Formeln sind richtig. Für den Umfang desselbe. Deiner Summenschreibweise stehe ich skeptisch gegenüber. Was wird summiert?

Woher ich das weiß: Studium / Ausbildung – Mathematik-Studium

Comments

[xMrKnusprig10x]

Mit jeder Iteration wird die Fläche größer. Wenn n = 1 ist, so erhalte ich eine Fläche von π/36, diese entspricht den beiden Halbkreisen aus dem ersten Bild. Für n = 2 erhalte ich eine Fläche von π/324, diese Fläche muss nun zur ersten addiert werden, da sie ja nur den inneren Halbkreisen aus Abb. 2 entspricht.

Gilt selbiges bzgl. des Limes auch für den Umfang?

[Quotenbanane]

@xMrKnusprig10x

Ja, ich verstehe, was du meinst. Also ist pi/(36*9^(n-1)) der Flächeninhalt für den n-ten Halbkreis, nicht?

Für die Summe der Halbkreise bis (einschließlich) n, hättest du Summe(bis n, Laufindex k) pi/(36*9^(k-1))

schreiben müssen. Und im Unendlichen dann so wie ich oben ein Limes davor anhängen.

Ja, der Umfang geht gleich.

lim_n->unendlich Summe(bis n, Laufindex k) ((1/3)^k*pi)+1

[xMrKnusprig10x]

@Quotenbanane

Super! Das beantwortet meine Frage schon komplett! Vielen Dank! :-)