lineare Dgl. zweiter Ordnung aus Fundamentallösungen bestimmen ?

Hallo, kann mir jemand einen Ansatz geben wie man hier rangeht?

Answer 1

[AusMeinemAlltag]

y(x) = c_1 * e ^ x + c_2 * e ^ (-2 * x)

Davon die Ableitungen bilden:

y´(x) = c_1 * e ^ x - 2 * c_2 * e ^ (-2 * x)

y´´(x) = c_1 * e ^ x + 4 * c_2 * e ^ (-2 * x)

Jetzt sollst du folgende Gleichung lösen:

y´´(x) + a * y´(x) + b * y(x) = 0

c_1 * e ^ x + 4 * c_2 * e ^ (-2 * x) + a * (c_1 * e ^ x - 2 * c_2 * e ^ (-2 * x)) + b * (c_1 * e ^ x + c_2 * e ^ (-2 * x)) = 0

Ich habe nicht selber versucht dieses Gleichungssystem zu lösen, stattdessen WolframAlpha gefragt:

https://www.wolframalpha.com/input?i=c_1+*+e+%5E+x+%2B+4+*+c_2+*+e+%5E+%28-2+*+x%29+%2B+a+*+%28c_1+*+e+%5E+x+-+2+*+c_2+*+e+%5E+%28-2+*+x%29%29+%2B+b+*+%28c_1+*+e+%5E+x+%2B+c_2+*+e+%5E+%28-2+*+x%29%29+%3D+0

Die Lösung ist:

a = 1 und b = - 2

Die Gleichung y´´(x) + y´(x) - 2 * y(x) = 0 hat mit c_1 = 0 und c_2 = 1 die Lösung y(x) = e ^ (-2 * x) und mit c_1 = 1 und c_2 = 0 die Lösung y(x) = e ^ (x)

Woher ich das weiß: Recherche