Koordinaten eines Scheitels einer Parabel herausfinden?
Guten Abend,
ich versuche gerade Mathe zu lernen, aber verstehe es einfach nicht. Da ich, um diese Uhrzeit, auch keinen Lehrer hier habe, aber mich auf den Unterricht vorbereiten und lernen möchte, frage ich einfach hier.
Meine Aufgabe ist: "Gib die Koordinaten des Scheitels der Parabel an." Aufgabe: f(x) = x² -5
Wie rechne ich das jz? Ich raffe es nicht. In den Lösungen steht S ( 0 | -5) Aber eigentlich muss man doch nur +5 rechnen und daraus die Wurzel ziehen. Dann hat man x1 und x2. Verwechsle ich da gerade etwas?
Vielen Dank im Voraus!
9 Antworten
Deine Parabelgleichung ist in der sogenannten Scheitelpunktsform angegeben:
f(x) = a * (x - d)² + e
Setzt man deine Werte nun ein, erhält man:
f(x) = 1 * (x - 0)² - 5
Nun versuchst Du, das x so zu wählen, dass die Klammer 0 ergibt, also setzt du für x = 0 ein:
f(0) = 1 * (0 - 0)² - 5
Damit hast Du den x-Wert für den Scheitel. Nun vereinfachst Du (hier mal ausführlich):
f(0) = 1 * 0² - 5
f(0) = 1 * 0 - 5
f(0) = 0 - 5
f(0) = -5
Nun hast du auch den y-Wert für den Scheitel raus, nämlich y = -5.
Und das ergibt zusammengesetzt für den Scheitel S ( 0 | - 5 ).
Du musst die erste Ableitung bilden.
Das ist hier f`(x)=2x
Dann das gleich null setzen.
Du bekommst raus: 2x =0
d.h. x=0
Das setzt Du in die normale Funktion ein und bekommst y= - 5
Wenn die erste Ableitung gleich null gestzt wird, bekommt man die Extrema.
1. Ableitung und diese Nullsetzen
f(x) = x² - 5
f'(x) = 2x = 0
Mit dem x-Wert den dazugehörenden y-Wert berechnen.
Oder in diesem Fall, das ist eine Normalparabel um 5 nach unter verschoben, viel rechnen muss man da eigentlich nicht.
Aber eigentlich muss man doch nur +5 rechnen und daraus die Wurzel
ziehen. Dann hat man x1 und x2. Verwechsle ich da gerade etwas?
Ja, du verwechselst hier definitiv etwas!
Das was du dort beschreibst ist der Weg, die Nullstellen zu berechnen.
Das würde so aussehen:
f(x) = x² -5
0 = x² - 5 |+5
x² = 5 |√
x1 = √5
x2 = -√5
Die Nullstelle ist allerdings nicht der Scheitelpunkt. Wenn das der Fall ist, was bei quadratischen Funktionen sehr oft der Fall ist, dann ist es quasi fast nur Zufall.
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Den Scheitelpunkt musst du am besten einfach ablesen. Dafür muss allerdings eine Vorraussetzung gegeben sein:
Die Funktion muss in der Scheitelpunktform gegeben sein.
Wie der Name Scheitelpunktform schon sagt, kann man an ihr den Scheitelpunkt einfach ablesen.
Die Scheitelpunktform sieht mathematisch allgemein so aus:
f(x) = a (x - d)² + e
Den Scheitelpunkt kannst du nun ablesen.
Der Scheitelpunkt befindet sich in dieser Schreibweise bei S(d|e).
Wichtig!!
Das Vorzeichen vom d ändert sich!
Ist das d also negativ, ist die x-Koordinate positiv und anders herum. Das Vorzeichen vom e bleibt so!
Beispiele dazu:
g(x) = 2(x-3)² + 1
Scheitelpunkt bei S(3 | 1).
h(x) = 3(x+5)² - 4
Scheitelpunkt bei S(-5 | -4).
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Um den Scheitelpunkt ablesen zu können, brauchst du also die Scheitelpunktform. Wie so oft steht deine Funktion in diesem Fall aber in der Parameterform, die wir bei mir in NRW immer "Normalform" nennen.
Das heißt, du musst die Funktion umformen. Das ist leider ganz ganz blöd, von der Scheitelpunktform (SPF) in die Normalform (NF) umzuformen. Dafür benötigst du nämlich ein weiteres Verfahren, was du lernen musst, nämlich die quadratische Ergänzung.
Hier kannst du nachlesen, wie das ganze funktioniert:
http://www.mathebibel.de/scheitelpunktform
Hier noch ein Video, wie die quadratische Ergänzung eigentlich funktioniert:
https://youtube.com/watch?v=WtADWqKt5UM
Kann ich dir beides nur wärmstens ans Herz legen.
Wenn du die Gleichung dann umgestellt hast, kannst du wie bereits erklärt den Scheitelpunkt einfach ablesen. Die Funktion selbst verändert sich durch die Schreibweise natürlich nicht. Wenn doch, hast du falsch umgeformt.
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Ich hoffe ich konnte dir weiterhelfen!
Wenn du noch Fragen hast, her damit! :)
Liebe Grüße
TechnikSpezi
Du kannst es daraus direkt ablesen. Stell dir vor um das x wäre eine Klammer ,z.B (x+0)^2 -5 . Da kannst du es besser sehen. Hier nochmal die wichtigsten Regeln im Überblick:
Ist am Ende der Funktion eine Addition, so ist die Parabel nach oben verschoben, bei einer Subtraktion nach unten.
Ist in der Klammer eine Addition, so ist die Parabel nach links (hoffe das stimmt) verschoben, bei einer Subtraktion nach rechts. Wichtig: Bei z.B (x+3)^2 ist der Scheitel (-3|0). Bei (x-3)^2 bei (3|0)! Also das, was sozusagen in der Klammer steht, ist immer genau andersrum, falls du verstehst, was ich meine.
Wenn vor der Funktion ein - steht, ist die Parabel nach unten geöffnet.
Wenn z.B. eine 4 vor x steht, ist das die Streckung bzw. Stauchung. (Ab wann es eine Streckung oder Stauchung ist, weiß ich leider nicht mehr)
Ich hoffe, dass ich dir ein bisschen helfen konnte.