Komplexe Lösung bestimmen?

Also ich kann mit dem komplexe konjugierten rechts erweitern und komme dann bei 1/2 + 1/2*i an also z^4 = 1/2 + 1/2*i. Wie mache ich jetzt weiter? z als a+ bi schreiben? oder mit den Polarwerten rechnen? Vielen Dank

Answer 1

[tunik123]

Zum Berechnen von Wurzeln aus komplexen Zahlen braucht man den Winkel.

z^4 = 1/2 + 1/2*i

z^4 = Wurzel(1/2) * (cos(45° + i * sin(45°))

Es sei W die achte Wurzel aus 1/2.

z = W * (cos(45°/4) + i * sin(45°/4))

z = W * (cos(11,25°) + i * sin(11,25°))

Der Winkel ist aber nicht eindeutig. Statt 45° könnte da auch 405°, 765° oder 1125° stehen. Daher gibt es noch mehr Lösungen:

z = W * (cos(101,25°) + i * sin(101,25°))

z = W * (cos(191,25°) + i * sin(191,25°))

z = W * (cos(281,25°) + i * sin(281,25°))

Comments

[tunik123]

Ich habe die Antwort geändert, nachdem sie von Willy1729 bestätigt wurde. Falls irgendwas falsch sein sollte, gebt mir bitte Bescheid. Danke.

[Willy1729]

@tunik123

War ich wohl zu schnell gewesen. Jetzt habe ich es aber selbst berechnet und bin auf das gleiche Ergebnis gekommen wie Du in Deiner aktualisierten Antwort.

Answer 2

[TBDRM]

Genau, du schreibst (1+i)/2 in Polarkoordinaten um, also

z^4 = (1+i)/2 = 1/√2 e^(i π/4)

= 1/√2 e^(i (π/4 + 2πn))

Nun potenzierst du mit 1/4, also

z = 1/2^(1/8) e^(i (π/8 + πn/2))

= 2^(–1/8) e^(i π(1+4n)/8).

Nun kannst du beliebige ganze n einsetzen. Es gibt genau vier unterschiedliche Löungen, z.B. für n = 0, 1, 2, 3.

z0 = 2^(–1/8) e^(i π/8)

z1 = 2^(–1/8) e^(i 5π/8)

z2 = 2^(–1/8) e^(i 9π/8)

z3 = 2^(–1/8) e^(i 11π/8)

Zuletzt musst du noch in kartesiche Koordinaten umwandeln, also

z0 = (√(2+√2))/(2√2) + (√(2–√2))/(2√2) i

z1 = –(√(2–√2))/(2√2) + (√(2+√2))/(2√2) i

z2 = –(√(2+√2))/(2√2) –(√(2–√2))/(2√2) i

z3 = –(√(2–√2))/(2√2) –(√(2+√2))/(2√2) i

Woher ich das weiß: Hobby – Mathematik (u. Physik)