Können stabile Kleiderschrank nach vorne kippen?

Stabilität ergibt sich aus der ausreichenden Aussteifung.
Darunter versteht man Knicken, Kippen und Beulen.
Die Endzustände ergeben sich aus der Theorie 2. Ordnung.

Stabilität bedeutet, dass  sich die Bretter innerhalb des Schrankes nicht zu weit verformen (max: l/300 -> Bei 1,5 Meter wären das 5 mm in der Mitte). Es beduetet auch, dass die Ecken der Schrankwände biegesteif ausgebildet sind (Stahlwinkel) und es bedeutet, dass in allen Ebenen X,Y,Z Platten, oder Zugseile den Schrank am Verdrehen hindern.
Unter "Kippen" versteht man in der Statik das seitliche Verdrehen, oder Ausweichen eines Trägers. Da die Bretter in der Regel beidseitig gehalten sind, ist ein Kippen in dieser Form nicht möglich, aber das ist es auch nicht, was du mit Kippen meintest.

Das Umkippen passiert tatsächlich abhängig davon, wie stabil dein Schrank ist.
Ist er in einer Richtung nicht gut ausgesteift, wird es sich zu dieser Seite neigen. Durch den Effekt der Theorie 2.Ordnung wird sich aus der Exzentrizität ein Moment am Fuße des Schrankes bilden, das aus der Normalkraft des Schrankes resultiert. Dieses Moment bewegt dann die Bretter zu dieser Seite, wodurch die Normalkraft sich weiter verschiebt und das Moment noch größer wird. Ist der Schwerpunkt dann soweit exzentrisch verschoben, dass das resultierende Moment aus der Exzentrizität größer ist, als das Moment, das die restlichen Normalkräfte (Der hinteren Teile des Schranken) bewirken, dann wird er "umkippen".

Ein 100 % biegesteifer Schrank (existiert nicht) und würde keine Momente Theorie 2.Ordnung bilden können und nicht umkippen.

JA! Hohe Schränke sollten unbedingt oben an der Wand festgemacht werden. 

Unser kleiner Sohn ist mal in einem Kleiderschrank an den Schubladen hochgeklettert und der Schrank ist umgekippt. Gottseidank haben die offenstehenden Türen des Schranks verhindert, dass das Kind getroffen wurde - puuuhhh - das war ein Schreck. Seitdem kommen als erstes die Bohrmaschine, die Dübelkiste und dicke Schrauben zum Einsatz wenn es um hohe Möbel geht.

Definiere Stabil.
Je höher ein Schrank ist, desto leichter fällt er um weil der Schwerpunkt auch nach oben rutscht.
Je schwerer er ist, desto mehr macht es "rums". Je stabiler der Schrank, desto weniger schnell wird er beim Umfallen kaputt.

„Stabil“ ist nicht gleichbedeutend mit „fällt nicht um“. Es tut nur etwas mehr weh, wenn ein stabiler Schrank auf dich fällt als einer, der dabei in 1000 Stücke zerbricht.

Kommt drauf an ein normaler Schrank mit ordentlicher Tiefe über 60 wo ein bisschen was drin ist sollte nicht ohne weiteres umkippen.