Kann mir wer helfen (mathe kursstufe)?
Thema: Pollstellen bei gebrochenrationalen Funktionen
Kann mir jemand erklären was in die Lücken kommt und auch erklären weshalb? Gerne auch kontrollieren
Danke!
2 Antworten
Bei Aufgabe 2 stimmt das, was du eingetragen hast. Zu der Lücke, die du ausgelassen hast:
Manchmal kann eine gebrochen rationale Funktion eine Nullstelle im Nenner haben, ohne dort eine Polstelle zu haben. Schauen wir uns z.B. mal die folgende Funktion an:
f(x) = 2x/x.
Hier haben wir bei x = 0 eine Definitionslücke. Aber an allen anderen Stellen nimmt die Funktion einfach den Wert 2 an. D.h. auch um den Wert x = 0 laufen die Funktionswerte nicht gegen (+-)unendlich, sondern eben gegen 2.
Der Grund ist: Wenn die Nullstelle n im Nenner auch eine Nullstelle im Zähler ist, dann kann man den Bruch durch (x - n) kürzen (Stichwort "Polynomdivision", falls dir das was sagt), und danach hat der Nenner diese Nullstelle vllt gar nicht mehr.
Zu den Lücken bei 3: Du weißt bereits, dass an der Stelle x = -1 eine Polstelle liegt [das wird von der Aufgabe vorgegeben]. Jetzt musst du dich fragen: Wenn du dich von links an den x-Wert -1 näherst, werden die Funktionswerte immer größer (d.h. geht die Funktion dann gegen +unendlich) oder immer kleiner (gegen -unendlich)?
Und dasselbe fragst du dich später, wenn du dich von rechts an -1 näherst.
Aufgabe 2 ist falsch. Eine Polstelle ist da, wo der Nenner 0 ist. Ggf. ist es keine Nullstelle, wenn der Zähler gleichzeitig 0 ist.