Kann mir jemand helfen die Mathe Aufgabe zu lösen?

Answer 1

[mihisu]

Hinweis 1:

U₁ ∩ U₂ ist ein Unterraum von U₁. Was lässt sich damit über die Dimension von U₁ ∩ U₂ aussagen?

Hinweis 2:

U₁ + U₂ ist ein Unterraum von V. Was lässt sich damit über die Dimension von U₁ + U₂ sagen? Inwiefern lässt sich damit dann etwas über die Dimension von U₁ ∩ U₂ aussagen. [Beachte auch die Dimensionsformel.]

====== Lösungsvorschlag zum Vergleich ======

Da U₁ ∩ U₂ ein Unterraum von U₁ ist, ist einerseits...

$\dim\left(U_1\cap U_2\right)\leq \dim\left(U_1\right)=3$

Mit Dimensionsformel erhält man andererseits...

$\dim\left(U_1+U_2\right)=\dim\left(U_1\right)+\dim\left(U_2\right)-\dim\left(U_1\cap U_2\right)$

$\rightarrow\quad \dim\left(U_1\cap U_2\right)=\dim\left(U_1\right)+\dim\left(U_2\right)-\underbrace{\dim(\overbrace{U_1+U_2}^{\subseteq V})}_{\leq\dim\left(V\right)}$

$\rightarrow\quad \dim\left(U_1\cap U_2\right)\geq \dim\left(U_1\right)+\dim\left(U_2\right)-\dim\left(V\right)=3+4-5=2$

Dementsprechend kommen für dim(U₁ ∩ U₂) nur die beiden Werte {2, 3} in Frage.

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Nun sollst du noch mit Hilfe von Beispielen zeigen, dass 2 und 3 tatsächlich für dim(U₁ ∩ U₂) möglich sind.

Dazu würde ich als 5-dimensionalen Vektorraum V einfach ℝ⁵ verwenden. Als einen 3-dimensionalen Unterraum U₁ kannst du dann beispielsweise

$U_1=\left\langle\left\lbrace e_1, e_2, e_3\right\rbrace\right\rangle=\left\langle\left\lbrace\begin{pmatrix}1\\ 0\\ 0\\ 0\\ 0\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}0\\ 1\\ 0\\ 0\\ 0\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}0\\ 0\\ 1\\ 0\\ 0\end{pmatrix}\right\rbrace\right\rangle$

verwenden. Überlege dir nun jeweils einen passenden Unterraum U₂ von V, sodass dim(U₁ ∩ U₂) = 2 bzw. dim(U₁ ∩ U₂) = 3 ist.