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Ich würde sagen, die Aufgabe ist primär Leseverstehen. Übrigens gibt die Aufgabe mir ziemliche Tutor-Vibes, da offensichtlich extra kompliziert formuliert wurde und einige seltsamen Formulierungen enthält.
Die Abbildung ist streng genommen eine ganze Menge von Abbildungen. Eigentlich müssten wir von einer konkreten Abbildung Psi_n sprechen… zumal das n hier auch gar nicht weiter definiert wird. Aber egal, es ist ja klar, was hier gemeint ist.
Bei (i) geht es um 2x2 Matrizen, die du mit Psi abbilden (übrigens nicht „schicken“ 😜) sollst. Da die Abbildung einfach im Transponieren, also dem Umkehren von Zeilen und Spalten, besteht, sollst du auch genau das tun. Die Standardbasismatrizen sind einfach die Matrizen, die an den angegebenen Indizes eine 1 und sonst überall 0en hat. E_1,1 hat die 1 oben links, E_1,2 oben rechts etc. Dabei also Zeilen und Spalten tauschen -> Fertig.
Bei (ii) suchst du einfach ein Beispiel für zwei quadratische Matrizen mit mehr als 2 Zeilen, für die gilt: Psi(A*B) != Psi(A) * Psi(B). Probier einfach mal ein bisschen rum, das geht eigentlich recht easy. Meine Empfehlung wären 3x3 Matrizen mit wenig Einträgen, die am besten auch alle 1 sind, da muss man nicht zuuu viel rechnen. Das rumprobieren hilft beim Verständnis, was bei diesen Abbildungen eigentlich mit den Matrizen passiert und hilft dir dann auch bei (iii).
Was ist eigentlich der unterschied von ii und iii?