Kann man nach dem deutschen jurastudium in anderen europäischen Ländern arbeiten und leben?

Es gibt kein Arbeits- oder Einreiseverbot für deutsche Juristen. Die Frage ist, welche Jobs sie im Ausland bekommen.

In Unternehmen arbeiten öfters internationale Juristen. Als fertig ausgebildete Rechtsanwälte können sie unter bestimmten Bedingungen auch EU-weit arbeiten, wobei das natürlich praktische Probleme mit sich bringt (man ist ja doch tendenziell mit dem lokalen Recht beschäftigt). Der Zugang zu "hoheitlichen" Berufen wie Staatsanwalt, Richter und Notar ist in der Regel nur mit Studium im jeweiligen Land möglich.

Das ksnnst Du mit oder ohne Studium - wenn Du als Jurist tätig sein möchtest, kümmere dich rechtzeitig um die richtigen Fächer und Kurse.

Ja. Wenn du in einer deutschen Botschaft oder in einem deutschen Konsulat oder in einer Handelsvertretung eines Konzerns irgendwo in der Welt arbeitest

Das hängt davon ab, ob eine Anwaltszulassung in Deutschland vorliegt. Die Eu-Niederlassungsrichtlinie für Rechtsanwälte regelt die Tätigkeit für EU Rechtsanwälte. Dies gilt aufgrund Abkommen auch für EWR Länder und die Schweiz. Ist dies der Fall, ist die Tätigkeit in diesen Ländern problemlos möglich, möglicherweise ist aber ein Einvernehmensanwalt bei gerichtlicher Vertretung erforderlich.

https://eur-lex.europa.eu/legal-content/DE/TXT/HTML/?uri=CELEX%3A31998L0005

Ja, aber es kann sein, dass du zusätzliche Prüfungen machen musst.