Kann man durch den Router beobachten, welche Seiten man besucht hat?

Ja, eingeschränkt. Man kann, wenn man will, sehen, mit welchen Servern Du kommuniziert hast. Man kann sehen, dass Du www.gutefrage.net aufgerufen hast. Man kann aber nicht sehen, dass Du www.gutefrage.net/frage/kann-man-durch-den-router-beobachten-welche-seiten-man-besucht-hat aufgerufen hast. Man kann auch nicht sehen, ob Du eine Frage gestellt, beantwortet oder bewertet hast. Genauso wenig sieht man, was Du gesucht hast, wenn Du eine Suchmaschine aufrufst.

Generell gilt aber: Ein Heimrouter protokolliert das nicht, die meisten Heimrouter (Vodafone, Telekom, Fritzbox) können das gar nicht protokollieren. Man muss sich also gezielt an den Router setzen und die Daten mitschneiden und auswerten. Man muss also wissen, wie das geht und man muss vor allem wissen, was man wie auswertet, um da Erkenntnisse herauszuziehen.

Wenn man - bei den AVM-Routern geht das z. B. - einen Spezialmodus aufruft, kann man mitschneiden, was so alles über den Router läuft. Jedoch dank https usw. nicht die Inhalte der aufgerufenen Seiten.

Standardmäßig gibt es keine Methode, das live zu beobachten, protokollieren, speichern kann kein üblicher privater Router.

By the way: Diese Frage wird hier "millionenfach" gestellt, ist die Suchfunktion denn wirklich so schwer zu nutzen?

Nein, ein üblicher Heim-DSL-Router protokolliert so etwas nicht.

Edit: Sorry, nicht richtig gelesen. Beobachten geht, jedenfalls eingeschränkt.