kann ich in meine Bewerbung schreiben, dass ich meine Aufgaben mit voller sorgfalt erledige, wenn ja wie kann ich das belegen?

Das ist Deine persönliche Einschätzung und damit subjektiv. Ich denke, das solche "Schlagworte" jeder Bewerber von sich schreibt. Aussagekräftiger sind hier schon Arbeitszeugnisse oder wenn Du nachweisen kannst längere Zeit in ein und demselben Betrieb tätig gewesen zu sein - spricht auch für Dich. Ansonsten, gibt es ja noch die Probezeit!

Es ist eine BeWERBUNG, also in erster Linie Werbung und was stimmt schon in der Werbung.

Wieso solltest du nicht schreiben, dass du exakt, sorgfältig und zuverlässig die Arbeiten erledigst?

Da brauchst du nichts belegen.