Kann eine strikt Konkave Funktion vom R^n nach R ein lokales Minimum oder Sattelpunkt besitzen?

Ich setzte Mal voraus dass die Funktion differenzierbar ist und dass der Definitionsbereich konvex ist.

Für eine Konkave Funktion ist die Hessematrix überall negativ semidefinit. An einem Sattelpunkt muss die Hessematrix jedoch indefinit sein, somit kann kein Sattelpunkt existieren. Also hat eine strikt konkave Funktion auch kein Statelpunkt.

Eine strikt konkave Funktion erfüllt die Eigenschaft:

f(x)<f(y)+gradf(y)*(x-y) für alle x und y

Sei nun der Gradient an der Stelle y gleich 0, somit bekommst du die ungleichung:

f(x)<f(y) für alle x

Wenn der Gradient also 0 ist, so muss die Funktion an der Stelle maximal sein. Sie kann also kein lokales Minimum haben (da eben ein lokales Minimum vorraussetzt dass der Gradient 0 ist)

(Allgemein gilt dass strikt konkave Funktionen höchstens ein Extremun besitzen, und zwar ein Maximum)