Ist Gödels Unvollständigssatz vor dem Hintergrund plausibler Mathematik logisch?
Der Gödelsche Unvollständigkeitssatz ist einer der wichtigsten Sätze der modernen Logik. Er beschäftigt sich mit der Ableitbarkeit von Aussagen in formalen Systemen. Der Satz zeigt die Grenzen der formalen Systeme ab einer bestimmten Leistungsfähigkeit auf. Er weist nach, dass es in hinreichend starken Systemen, wie der Arithmetik , Aussagen geben muss, die man formal weder beweisen noch widerlegen kann. Der Satz beweist damit die Undurchführbarkeit des Hilbertprograms, das von David Hilbert unter anderem begründet wurde, um die Widerspruchsfreiheit der Mathematik zu beweisen.
Wer kennt eine Lösung?
3 Antworten
Mir ist nicht ganz klar, was Du wissen willst. Gödel zeigt ja gerade, dass sich die Mathematik nicht vollständig axiomatisieren lässt. In jedem Axiomen-System gibt es nicht-entscheidbare Aussagen, die dann selbst in ihrer Aussage oder der Negation dieser Aussage den Axiomen hinzugefügt werden können. Dies erweitert zwar das Axiomen-System, aber auch in diesem neuen, erweiterten Axiomen-System wird es neue, unentscheidbare Aussagen geben…
.. wie der Arithmetik ..
Die Arithmetik ist sauber. Wie ich unlängst in einem Artikel (weiß nicht mehr welcher) gelesen habe, untersucht man aktuell Teilgebiete der Mathematik um herauszufinden, ob sie stark genug sind um die vorausgesagten Widersprüche zu enthalten. Dabei kam heraus, dass die Arithmetik keine Aussagen enthält, die man weder beweisen noch widerlegen kann.
Das stimmt nicht. Die Arithmetik ist nicht vollständig axiomatisierbar, d. h. zu jedem korrekten Axiomensystem der Arithmetik gibt es Sätze der Arithmetik, die wahr, aber nicht beweisbar sind. Eben dies hat Gödel gezeigt.
Ich finde es ebenso logisch, wie die Tatsache, dass man sich nicht am eigenen Schopf aus dem Sumpf ziehen kann.
Es folgt ja aus dem Unvollständigkeitssatz, dass Du Konzepte brauchst wie Axiome, d.h. Festlegungen, die unbeweisbar sind, akzeptiert sind, und als Basis für Mathematische Sätze und Beweise genutzt werden.