Ist die Formel für die Bogenlänge nicht ganz genau?

Ich habe mit dem integral die Bogenlänge von y=√(1-x^2) mit dem Taschenrechner ausgerechnet. Die Funktion ist ja ein Halbkreis mit Radius 1, d.h. die Länge müsste genau π sein. Bei der Berechnung mit der Formel der Bogenlänge spuckt der Taschenrechner aber ein Ergebnis aus , das nach den ersten 11 stellen von π abweicht. Wie kommt diese Ungenauigkeit zustande?

Answer 1

[precursor]

Du suchst die Bogenlänge dieser Funktion von x = -1 bis x = 1

f(x) = √(1 - x²)

f´(x) = - x / √(1 - x²)

Wolfram Alpha kann genauer rechnen als die meisten Taschenrechner, dazu musst du lediglich auf die Schaltfläche "more digits" klicken, du kannst mehrmals auf die Schaltfläche klicken für immer genauere Ergebnisse :

https://www.wolframalpha.com/input/?i=integrate+%E2%88%9A(1%2Babs(-+x+%2F+%E2%88%9A(1+-+x%C2%B2))+%5E+2)+from+-1+to+1

Wolfram Alpha hat allerdings schon erkannt und geschrieben, dass das den Wert pi hat.

Und das mit deinem Taschenrechner kommt zustande, weil der intern wahrscheinlich nur mit 12 signifikanten Dezimalstellen rechnet, mehr nicht.

Answer 2

[PhotonX]

Der Taschenrechner berechnet das Integral offenbar numerisch und nicht symbolisch, wie zum Beispiel Mathematica. Dabei treten naturgemäß Fehler auf.

Woher ich das weiß: Studium / Ausbildung – Masterabschluss Theoretische Physik

Answer 3

[Answer610]

wieso nicht f´(x) = - 2x / √(1 - x²)
die innere Ableitung ist doch -2x nicht -x