Ich muss in Mathe eine GFS über Komplexe Zahlen halten.Was würdet ihr alles in eine Vortrag packen der rund 15 Minuten gehen soll?
Eine mögliche Gliederung oder zumindest Vorschläge wären super :D
2 Antworten
Starte einfach mit der ursprünglichen Problematik die zu der Erfindung/Entdeckung der komplexen Zahlen geführt hat:
x² = -1 (oder ähnliche Gleichungen)
Es folgt die Einführung der komplexen Einheit i .
Sinnvoll wäre mit der kartesischen Darstellungsform der komplexen Zahlen und der komplexen Zahlenebene zu beginnen. Man kann darauf eingehen, dass sich der Raum der komplexen Zahlen mit dem IR^2 identifizieren lässt und damit komplexe Zahlen als Vektoren interpretiert werden können.
--> Es kann dadurch verdeutlicht werden, dass es keine ">, < " für komplexe Zahlen gibt.
--> Das Produkt zweier komplexer Zahlen hat die gleiche Form wie das Skalarprodukt im IR^2.
--> Es existiert im Vergleich zum IR^2 jedoch eine Division
Um schließlich zu der wichtigen Polarform der komplexen Zahlen übergehen zu können kann man einmal die Multiplikation von komplexen Zahlen miteinander betrachten und anhand der kartesischen Form mit ausgewählten Beispielen die Gegebenheiten verdeutlichen:
--> Bsp: (1+i), (1 - i), (0 + i), (1/sqr(2) + 1/sqr(2) *i)
(Die Beträge werden miteinander multipliziert und die Winkel addiert ... )
Dies ist besonders gut geeignet um es auch graphisch zu zeichnen.
Gegebenenfalls kann man mittels der Potenzreihen und einem kurzen Abstecher zu den Taylorreihen den Zusammenhang:
e^(ix) = cos(x) + i*sin(x) zeigen. (Einfach)
Somit sind dann die 3 äquivalenten Formen:
z = x + i*y = |z|*(cos(w) + i*sin(w)) = |z|*e^(i*w)
bekannt gemacht worden.
--> Die Polarform ermöglicht einem die Drehung im IR^2 mittels komplexer Multiplikation zu verstehen.
--> Man kann sich das Wurzelziehen im komplexen anschauen
--> Das Problem der Nichteindeutigkeit der Polarform
--> Potenzen komplexer Zahlen ausrechnen
Ebenso ist es sinnvoll zu zeigen, dass gilt:
sin(x) = (e^(ix) - e^(ix))/(2i)
cos(x) = (e^(ix) + e^(ix))/2
Schließlich bietet sich vlt noch an sich die Lsg. von Gleichungen der Form:
z² + az + b = 0 mit a,b komplexe Zahlen anzuschauen (kompl. pq-Formel)
Zu guter Letzt vielleicht noch bekannte Anwendungsbereiche:
- komplexe Wechselstromrechnung (Elektrotechnik/Physik) ("einfach")
- Quantenmechanik (Physik)
Natürlich gibt es noch viel mehr, bspw. komplexe Funktionen und das Prinzip der komplexen Ableitung etc.. Aber ich denke das oben genannte dürfte die 15 Minuten schon mehr als genug füllen.
Wenn du keine Probleme mit englisch hast, so empfehle ich je nachdem wie viel du schon darüber weist dir mal folgende Videoreihe anzuschauen:
Grundlagen/Einleitung
Was sind komplexe Zahlen (ggf. auch: Wer hat sie warum entwickelt)
Darstellung komplexer Zahlen
Rechnen mit komplexen Zahlen (mit Beispielen):
Addition
Subtraktion
Multiplikation
Division