Ich brauche Hilfe in Mathe bzw bei e-Funktionen. Könnt ihr mir helfen?
Ein Superball fällt aus einer Höhe von 2m. Er trifft auf und springt 1,80m hoch. Dies wiederholt sich.
a) Die Sprunghöhe wird durch die Gleichung h(x)=a*e^(bx) für 0<x<20 exakt erfasst (x: Zahl der Sprünge, h: Höhe in cm). Bestimmen sie a und b.
b) Wie hoch springt der Ball beim 15. Sprung? In welchem Sprung unterschreitet der Ball erstmals die Höhe von einem Meter?
c) Die Sprunghöhe h soll nun durch die lineare Funktion h1(x)= 200-10x angenähert werden (0<x<20). Berechnen sie, an welcher Stelle die beiden Funktionen am stärksten voneinander abweichen.
Kann mir jemand sagen wie man die Aufgabe rechnet? Ich danke schon mal im Voraus! :-)
3 Antworten
a.)
200 = a * e ^ (b * 0)
a = 200
180 = 200 * e ^ (b * 1) | : 200
0.9 = e ^ (b) | ln(...)
b = ln(0.9)
h(x) = 200 * e ^ (ln(0.9) * x)
b.)
h(15) = 200 * e ^ (ln(0.9) * 15) = 41.1782264 Zentimeter
100 = 200 * e ^ (ln(0.9) * x) | : 200
0.5 = e ^ (ln(0.9) * x) | ln(...)
ln(0.5) = ln(0.9) * x
ln(0.5) = ln(0.9) * x | : ln(0.9)
x = ln(0.5) / ln(0.9)
x = 6.6
Da das eine krumme Zahl ist muss auf eine ganze Zahl gerundet werden.
x = 7
c.)
k(x) = 200 * e ^ (ln(0.9) * x) - (200 - 10 * x)
k(x) = 200 * e ^ (ln(0.9) * x) + 10 * x - 200
k´(x) = 10 + 200 * ln(0.9) * e ^ (ln(0.9) * x)
Wertetabelle von k´(x)
0 | 0,0000000000
1 | -10,0000000000
2 | -18,0000000001
3 | -24,2000000001
4 | -28,7800000001
5 | -31,9020000001
6 | -33,7118000001
7 | -34,3406200001
8 | -33,9065580001
9 | -32,5159022001
10 | -30,2643119801
11 | -27,2378807821
12 | -23,5140927039
13 | -19,1626834336
14 | -14,2464150902
15 | -8,8217735812
16 | -2,9395962231
17 | 3,3543633992
18 | 10,0189270593
19 | 17,0170343534
20 | 24,3153309180
10 + 200 * ln(0.9) * e ^ (ln(0.9) * x) = 0 | -10
200 * ln(0.9) * e ^ (ln(0.9) * x) = -10 | : 200 * ln(0.9)
e ^ (ln(0.9) * x) = -10 / (200 * ln(0.9)) | ln(...)
ln(0.9) * x = ln(-10 / (200 * ln(0.9))) | : ln(0.9)
x = ln(-10 / (200 * ln(0.9))) / ln(0.9)
x = 7.07442...
Beim 7-ten Sprung ist die Abweichung zwischen den beiden Funktionen am stärksten.
die Anfangshöhe bei x=0 Sprüngen ist gleich 200 cm.
h(0)=200 => a*e^0=200 => a=200
h(1)=180 => 200*e^(b*1)=180 => e^b=0,9 => b=ln(0,9)=-0,105 (gerundet)
ergibt: h(x)=200*e^(-0,105x) (bzw. exakt 200*e^(ln(0,9)x)
200e^(ln(0,9)x)=100 |:200
e^(ln(0,9)x)=1/2 |ln...
ln(0,9)x=ln(1/2)=-ln(2) |:ln(0,9)
x=6,57 => beim 7. Sprung gehts erstmals nicht höher als 100 cm
H(5)=1.50x+68