Gibt es eine ganzrationale Funktion fünften Grades ohne Nullstellen?
Ich würde mal behaupten ja, aber mir fällt keine ein. Kann mir jemand auf die Sprünge helfen??
3 Antworten
![](https://images.gutefrage.net/media/user/Suboptimierer/1443606504450_nmmslarge__0_0_160_160_7f828fad18ee7edb96b8daceedaeeadb.png?v=1443606506000)
Ich behaupte nein.
Es gibt immer mindestens eine reelle Nullstelle und immer genau 5 Nullstellen im Bereich der komplexen Zahlen (darunter können einige mehrfach auftreten).
Begründung. Polynome ungeradem Grads laufen immer entweder von +∞ nach -∞ oder von -∞ nach +∞ und sind stetig.
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Ich sehe nicht, wo hier der kleine Gauß helfen soll. o.O
![](https://images.gutefrage.net/media/user/claushilbig/1571688507901_nmmslarge__13_13_179_179_5ad810a31be88cec8593add89b3fe407.jpg?v=1571688508000)
Ungerade Funktionen laufen immer "von links unten nach rechts oben" oder "von rechts unten nach links oben" - wie soll das gehen, ohne die x-Achse zu überschreiten?
Einzige Möglichkeit, dass das "Überschreiten" der x-Achse keinen Schnittpunkt (und damit keine Nullstelle) liefert, ist ein entsprechender Definitionsbereich, der diese "potentielle Nullstelle" ausschließt - z. B. wenn die Funktion nur auf den rationalen Zahlen definiert ist, die Nullstelle aber irrational wäre (bei Definition auf den ganzen Zahlen würde auch ein Bruch als Nullstelle schon ausfallen).
![](https://images.gutefrage.net/media/default/user/7_nmmslarge.png?v=1438863662000)
Über ℚ: ja. Z. B. jedes irreduzible Polynom 5. Grades über ℤ, z. B. x -> x^5 - 2.
Über ℂ sowieso nicht - hier hat jedes Polynom mindestens 1. Grades mindestens eine Nullstelle.
Über ℝ auch nicht, da für Argumente mit hinreichend großem Betrag die Vorzeichen für positive und negative Argumente verschieden sind. Bzw. in ℝ ∪ {-∞, +∞}: sign( lim(x->-∞) f(x) ) = - sign( lim(x->+∞) f(x) )
(Beweis der Existenz einer Nullstelle über den Zwischenwertsatz)
Das gilt übrigens für alle Polynome ungeraden Grades über ℝ.
Und immer wieder hilft der kleine Gauß