Hilfe bei Aufgabe?

1 Antwort

JulianOnFire
01.08.2023, 11:51

Wir verwenden den Satz von Bayes, um die Wahrscheinlichkeiten für die verschiedenen Szenarien zu berechnen. Angenommen, A bezeichnet den fairen Würfel und B den manipulierten Würfel. Die Wahrscheinlichkeit P(A) für den fairen Würfel beträgt 0,5, und P(B) für den manipulierten Würfel beträgt ebenfalls 0,5. Die gegebenen Wahrscheinlichkeiten für die Augenzahlen des manipulierten Würfels sind:

P(X=1|B) = 1/9

P(X=2|B) = 1/9

P(X=3|B) = 1/9

P(X=4|B) = 1/9

P(X=5|B) = 1/9

P(X=6|B) = 4/9

Da die Wahrscheinlichkeiten für den fairen Würfel gleichverteilt sind, beträgt P(X=x|A) = 1/6 für x = 1, 2, ..., 6.

(a) Wahrscheinlichkeit nach dem ersten Wurf:

P(B|E1) = P(E1|B) * P(B) / P(E1) = P(X=2|B) * P(B) / (P(X=2|B) * P(B) + P(X=2|A) * P(A))

= (1/9) * (1/2) / ((1/9) * (1/2) + (1/6) * (1/2))

= (1/18) / (1/18 + 1/12)

= 2/3

P(A|E1) = 1 - P(B|E1) = 1 - 2/3 = 1/3

(b) Wahrscheinlichkeit nach dem zweiten Wurf:

P(B|E2) = P(E2|B) * P(B) / P(E2) = P(X=6|B) * P(B) / (P(X=6|B) * P(B) + P(X=6|A) * P(A))

= (4/9) * (1/2) / ((4/9) * (1/2) + (1/6) * (1/2))

= (4/18) / (4/18 + 1/12)

= 8/11

P(A|E2) = 1 - P(B|E2) = 1 - 8/11 = 3/11

(c) Wahrscheinlichkeit nach dem dritten Wurf:

P(B|E3) = P(E3|B) * P(B) / P(E3) = P(X=6|B) * P(B) / (P(X=6|B) * P(B) + P(X=6|A) * P(A))

= (4/9) * (1/2) / ((4/9) * (1/2) + (1/6) * (1/2))

= (4/18) / (4/18 + 1/12)

= 8/11

P(A|E3) = 1 - P(B|E3) = 1 - 8/11 = 3/11

(d) Wahrscheinlichkeit nach dem vierten Wurf (X=5):

P(B|E4) = P(E4|B) * P(B) / P(E4) = P(X=5|B) * P(B) / (P(X=5|B) * P(B) + P(X=5|A) * P(A))

= (1/9) * (1/2) / ((1/9) * (1/2) + (1/6) * (1/2))

= (1/18) / (1/18 + 1/12)

= 2/3

P(A|E4) = 1 - P(B|E4) = 1 - 2/3 = 1/3

Zusammenfassend ergibt sich:

(a) P(A|E1) = 1/3, P(B|E1) = 2/3

(b) P(A|E2) = 3/11, P(B|E2) = 8/11

(c) P(A|E3) = 3/11, P(B|E3) = 8/11

(d) P(A|E4) = 1/3, P(B|E4) = 2/3
K31nPl4n  01.08.2023, 14:41

Das stimmt nicht ganz in der Aufgabenstellung steht dass man jeweils die vorherigen Würfe kennt.

P(E2) ist somit die Warscheinlichkeit, dass erst eine 2 und dann eine 6 gewürfelt wird, P(E3) ist die Warscheinlichkeit, dass erst eine 2 und dann zweimal eine 6 gewürfelt werden und P(E4) ist die Warscheinlichkeit dass erst eine 2 dann eine 6 und dann eine 5 gewürfelt werden.

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