Hallo ich schreibe morgen Mathe über Parabeln?
Hallo ich schreibe morgen eine Arbeit in Mathe und verstehe einfach nicht wie ich das machen soll weil unser Lehrer uns das nicht erklärt ich hoffe das es mit jemand erklären kann
1 Antwort
Rechts im dunklen Kasten siehst Du die drei Möglichkeiten, wie man die Funktionsgleichung einer Parabel notieren kann: in der Scheitelpunktform, Nullstellenform (faktorisierte Form) oder in der allgemeinen Form (Normalform).
Ist der Scheitelpunkt eindeutig erkennbar (oder wie hier konkret angegeben), würde ich immer auch die Scheitelpunktform nehmen (auch wenn zusätzlich beiden Nullstellen bekannt sind wie bei Beispiel a) und c) ). D. h. Du setzt die Werte des Scheitelpunkts S(b|c) in die Scheitelpunktform für die Parameter b und c ein (bei negativen Werten diese "sicherheitshalber" immer zuerst in Klammern einsetzen), und liest zusätzlich noch einen gut ablesbaren Punkt P(x|y) ab und setzt dessen Werte für x und y ein. Somit hast Du eine Gleichung, in der nur noch das a unbekannt ist.
Kennst Du 2 Nullstellen (x1|0) und (x2|0), setzt Du deren x-Werte für x1 und x2 ein plus die Koordinaten eines weiteren Punktes für x und y, sodass wieder nur das a als Unbekannte übrig bleibt.
Kennst Du weder Nullstellen noch Scheitelpunkt (bzw. kannst diese nicht eindeutig ablesen), dann benötigst Du 3 gut ablesbare Punkte, setzt deren Werte in 3 Gleichungen der allgemeinen Form für x und y ein und musst in diesem Fall "leider" das so entstehende Gleichungssystem lösen.
Beispiel a): der Scheitelpunkt S(2,5|-9) ist gegeben, also in Scheitelpunktform einsetzen: y=a(x-2,5)²+(-9)=a(x-2,5)²-9. Jetzt brauchst Du noch einen weiteren Punkt, z. B. die Nullstelle (1|0): 0=a(1-2,5)²-9.
Jetzt die rechte Seite ausrechnen und nach a auflösen:
a(-1,5)²-9=0 |+9
2,25a=9 |:2,25
a=9/2,25=4 => y=4(x-2,5)²-9
Ist keine spezielle Form angegeben, würde ich die gewählte Form dann auch so stehen lassen, und nicht etwa in die allgemeine Form umstellen.
Die b) geht exakt genauso wie die a). Zuerst setzt Du den Scheitelpunkt in die Scheitelpunktform ein und dann einen beliebigen weiteren Punkt: bei a) war es "zufällig" der Punkt einer Nullstelle und hier ist es ein "ganz normaler" Punkt, d. h. Du setzt jetzt noch x=4 und y=-5 in die Scheitelpunktgleichung ein und hast wieder nur das a als einzige Unbekannte.
Bei der Scheitelpunktform hast Du ja quasi eine Gleichung mit 5 Unbekannten: y=a(x-b)²+c. In dieser Gleichung steht keine einzige Zahl (außer der 2 im Exponenten...). b und c sind die Koordinaten des Scheitelpunkts und x und y die Koordinaten eines beliebigen (anderen) Punktes. D. h. wenn Du diese 4 Unbekannten durch die konkreten Werte von S(b|c) und P(x|y) ersetzt, bleibt nur noch a übrig, das Du dann leicht ausrechnen kannst.
Bei der Nullstellenform hast Du 4 Unbekannte: y=a(x-x1)(x-x2). Hier setzt Du die Nullstellen x1 und x2 ein und wieder einen weiteren Punkt für x und y. Somit bleibt wieder a als einzige Unbekannte übrig.
Ich habe zwar in meiner Antwort geschrieben, dass ich bei bekanntem Scheitelpunkt die Scheitelpunktform nehmen würde: evtl. fällt es Dir aber auch leichter, wenn Du zusätzlich die Nullstellen kennst, diese Form zu nutzen...:
nochmal a) mit Nullstellenform:
N1(1|0), N2(4|0) einsetzen:
y=a(x-1)(x-4); jetzt noch einen weiteren Punkt einsetzen, hier S(2,5|-9):
-9=a(2,5-1)(2,5-4)
-9=a*1,5*(-1,5)
-9=-2,25a
a=4
Ist letztendlich wohl eher "Geschmackssache": ich finde, man kommt in diesem Fall (Nullstellen und Scheitelpunkt bekannt) mit beiden Varianten gleich schnell ans Ziel!
Hallo könntest du mir dies bitte auch an Aufgabe b zeigen